Lema técnico sobre el espacio de estados de un $C^*$ -álgebra.

Question

Considere la siguiente prueba del libro " $C^*$ -y aproximaciones de dimensión finita":

¿Por qué funciona esta prueba en el caso no matrimonial? (véase la última línea). Quizá tengamos $$\|a + \lambda \| = \sup_{\varphi \in \mathcal{S}} \{|\varphi(a, \lambda)|\}$$ donde los estados $\varphi: A \to \mathbb{C}$ se han extendido (únicamente) a los estados en la unitización?

Answer 1

Los estados de $A$ se extienden unívocamente (como estados) a la unitización. La extensión es $\tilde\varphi(a+\lambda)=\varphi(a)+\lambda$ . En fácil de comprobar que dicha extensión es un estado.

Y tienes una extensión $\psi$ de $\varphi$ que es un estado, entonces $\psi(1)=1$ (un funcional positivo siempre satisface $\psi(1)=\|\psi\|$ ). Eso le da $$ \psi(a+\lambda)=\psi(a)+\psi(\lambda)=\varphi(a)+\lambda. $$

El único estado en la unitización $\tilde A$ de $A$ que no proceda de un estado en $A$ es el estado $\alpha(a+\lambda)=\lambda$ . Como este estado es cero en todos los elementos de $A$ no en los débiles $*$ casco convexo cerrado de los otros estados, por lo que no afecta a la definición de $S$ ni la prueba.

No veo la manera de hacer la prueba de una forma tan obvia como Nate y Taka hacen parecer, pero esta es mi opinión. Escribe $n=\|a\|$ . Entonces, con $\tilde\varphi$ la extensión única de $\varphi$ a la unitización como estado, \begin{align} \|a+n\|&=\sup_{\|b\|\leq1}\|ab+nb\| =\sup_{\|b\|\leq1}\sup_{\varphi\in S}|\varphi(ab+nb)|\\[0.3cm] &=\sup_{\|b\|\leq1}\sup_{\varphi\in S}|\tilde\varphi((a+n)b)|\\[0.3cm] &\leq\sup_{\|b\|\leq1}\sup_{\varphi\in S}\tilde\varphi(b^*b)^{1/2}\tilde\varphi((a+n)^2)^{1/2}\\[0.3cm] &\leq\sup_{\varphi\in S}\tilde\varphi(\|a+n\|\,(a+n))^{1/2}\\[0.3cm] &=\|a+n\|^{1/2}\,\sup_{\varphi\in S}\tilde\varphi(a+n)^{1/2}. \end{align} Anulando y elevando al cuadrado obtenemos $$ \|a+n\|\leq\sup_{\varphi\in S}\tilde\varphi(a+n), $$ que es la desigualdad no evidente que se necesita.