Aproximación sobre una recta

Question

Digamos que he muestreado algunos puntos en $[0,1]^2$ y evaluar una función $f(x,y)$ para ellos. Me interesa el comportamiento de $f$ a lo largo de una única dimensión.

Si los puntos fueran como $(x_1,y_1),(x_1,y_2),\ldots,(x_1,y_N)$ entonces se encuentran en una línea recta, de modo que puedo comparar $f(x_1,y_1),f(x_1,y_2),\ldots,f(x_1,y_N)$ para inspeccionar el comportamiento a lo largo del $y$ -ya que $x$ es fijo.

Sin embargo, mis puntos se encuentran dispersos, por ejemplo, los puntos rojos de la figura. ¿Existe alguna forma de "proyectar" estos puntos sobre una línea recta (la misma línea $x$ -coordenada)?

En la figura los puntos rojos son los únicos puntos donde sé $f(x,y)$ . Para inspeccionar $f$ a lo largo del $y$ -dimensión, quiero inspeccionar puntos a lo largo de una $x$ -en este caso la línea negra discontinua. ¿Hay alguna forma de "proyectar" los puntos rojos sobre esta línea negra, de forma que se conviertan en los puntos negros?

Estoy familiarizado con los métodos de interpolación, pero me preguntaba si existe un método más matemático/exacto para hacerlo. Por ejemplo 'filtrar' el $x$ -contribuciones.

Hasta ahora he intentado interpolar, pero los resultados dependen realmente del método de interpolación. Además pensé en ponderar la contribución de cada punto, según la distancia entre ese punto y la línea negra, pero tampoco ha sido muy fructífero.

Cualquier ayuda/pensamiento/idea es muy apreciada :)

Answer 1

Tienes una mesa $(x_i,y_i,f(x_i,y_i))_{i=1}^n$ . Y un valor fijo de $x$ denotado a continuación como $x^*$ .

Si el $y_i$ son únicos no tienes interpolación, sino una expansión de Taylor más o menos, que es una extrapolación. Si no son únicos y tiene valores alrededor de given\fixed $x^*$ es decir, de ambos lados, entonces puede tener una interpolación univariable para este valor. Sin embargo, esto no utilizará información de diferentes valores de $y_i$ que pueden afectar a la calidad de su comparación a lo largo $y$ dimensión, es decir $f(x^*,y_j)$ .

Puedes probar cualquiera de los siguientes:

1. Defina $w_i = \frac{1}{\|(x^*,y_i)\|_2^q} $ para algunos $q>0$

   Entonces $$f(x^*,y) \approx \sum_{i=1}^n f(x_i,v_i) v_i$$ donde $$v_i = w_i\left(\sum_{j=1}^n w_j \right)^{-1}$$

   Este sería el Método Shepard, existen algunas modificaciones, véase .

2. El planteamiento anterior puede generalizarse como una aproximación por un funciones de base radial o sus modificaciones, por ejemplo este enlace . Tenga en cuenta también esto enlace . Usted puede encontrar la implementación matlab de este enfoque aquí .

3. También puede considerar estrías si te gusta.

4. En Ajuste por mínimos cuadrados también es una buena opción.

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Ahora sobre cómo elegir el mejor $x^*$

Obsérvese que la calidad de la aproximación varía para una $x^*$ y para diferentes métodos el mejor resultado se obtiene en diferentes $x^*$ .

Un método ingenuo sería elegir algo entre todo lo conocido $x_i$ por ejemplo $$x^*=\mathop{\mathrm{argmin}}\limits_{x^*\in[x_1,x_n]} \|x^*-x\|,$$ donde $x=(x_1,\dots,x_n)$ son valores conocidos de la tabla.

Pero lo que realmente quiere es $x^*$ que minimizan $$Error(x^*)=\|f(x,y)-\tilde f(x^*,y)\|$$ donde $f(x,y) = (f(x_1,y_1),\dots,f(x_n,y_n))$ y $\tilde f$ es el aproximante. Generalmente para hablar, necesitas saber aproximar el término de error del método que utilices en un punto dado.

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Añado otra posible definición de la medición del error (basada en métodos similares a los de Shepard) sugerida por A.S. en los comentarios. Si son equivalentes o si se debe preferir uno sobre otro es una cuestión que aún no se ha resuelto. Sin embargo, supongo que también se puede utilizar. $$Error(f,\tilde f)=E\left(\sum_i \frac{||f(x_i,y_i)-f(x^*,Y)||}{||(x_i,y_i)-(x^*,Y)||}\right)$$