producto directo de grupo cíclico y no cíclico juntos.

Question

Consideremos el producto directo de dos grupos finitos, uno es cíclico y el otro no, ¿es el producto directo cíclico?

si ambos grupos no son cíclicos,¿qué podemos decir del producto directo de ellos?

Creo que si uno de ellos es cíclico, el producto directo no es cíclico,porque para el segundo grupo no hay generador y el generador del grupo cíclico no tiene efecto sobre el segundo grupo,creo que el mismo argumento es correcto cuando ambos grupos son no cíclicos,sería genial si me orientas si estoy equivocado,gracias.

Answer 1

Todo grupo cociente de un grupo cíclico es cíclico. Así que si tienes un factor directo que no es cíclico, el propio grupo no puede serlo.

Answer 2

Para cualquier grupo finito $G$ se puede definir el exponente $\exp G$ de $G$ sea el menor número natural $N$ tal que $g^N=e$ para todos $g\in G$ . Está claro que si $G$ es un grupo cíclico de orden $n$ entonces $\exp G=n=\text{card}(G)$ de hecho, lo contrario también es cierto: si $\exp G=\text{card}(G)$ entonces $G$ es un grupo cíclico (cuando $G$ es abeliano, la prueba no es tan difícil). También es fácil ver que $\exp (G\times H)=\text{LCM}\ (\exp G,\exp H) $ . A partir de estas propiedades, se puede demostrar que $G\times H$ es cíclico si $G$ y $H$ son cíclicos y sus órdenes son coprimos.

Answer 3

Si el producto de un grupo cíclico $C$ por otro grupo $G$ es abeliano, entonces $G$ es abeliano, ya que es un cociente de $C\times G$ .

Del mismo modo, si el producto de $C$ por $G$ es cíclico, $G$ es cíclico. Esto prueba que el producto no puede ser cíclico, ni abeliano.

Si ambos grupos no son cíclicos lo único que se puede decir es que el producto tampoco puede serlo.