Integraciones de contorno complejo

Question

Considera la integral de contorno apropiada (círculo $\oint=e^z$, muestra que $$\int^{2\pi}_{0}e^{cos\theta}cos(sin\theta +\theta)d\theta = 0$$ Una explicación más detallada sería aún mejor.

Answer 1

Considerar

$$\oint_{|z|=1} dz\: \exp{z}$$

Aplicar el Teorema de Cauchy para ver que esta integral es cero. Luego parametrizar usando $z=\exp{(i \theta)}$, $dz = i \exp{(i \theta)}$.

Es decir,

$$\begin{align}\oint_{|z|=1} dz\: \exp{z} &= i \int_0^{2 \pi} d \theta \: \exp{[\exp{(i \theta)} + i \theta]}\\&=i \int_0^{2 \pi} d \theta \exp{[\cos{\theta} + i (\sin{\theta} + \theta)]} \\ &= i \int_0^{2 \pi} d \theta \: \exp{(\cos{\theta})} [\cos{(\sin{\theta}+\theta)} + i \sin{(\sin{\theta}+\theta)}] \\ \end{align}$$

Dado que la integral es cero, las partes real e imaginaria son cada una cero.