Sea como sea que abordemos este problema, estamos intentando crear una cadena de homomorfismo que comience en $\mathbb{Z}[X]$ y terminando en $\mathbb{Z}_7[\sqrt{3}]$ .
Si empezamos como tú con el mapa de evaluación, tenemos que encontrar un homomorfismo de $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ a $\mathbb{Z}_7[\sqrt{3}]$ . Esto es difícil si pensamos en $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ como un subring de $\mathbb{R}$ pero es más fácil si pensamos en ello como $\mathbb{Z}[X]/(X^2-3)$ ya que entonces todo lo que necesitamos es un homomorfismo de $\mathbb{Z}[X]$ a $\mathbb{Z}_7[\sqrt{3}](=\mathbb{Z}_7[Y]/(Y^2-3))$ con un núcleo que contiene $(X^2-3)$ por el teorema del isomorfismo para anillos. El mapa que envía $X$ a $Y$ y $1$ a $1 \pmod{7}$ funciona. Sin embargo, esta forma es innecesariamente complicada, porque tenemos que tratar con muchos anillos de cociente. Una forma mucho mejor es crear una cadena diferente.
En lugar de buscar una composición $\mathbb{Z}[X]\rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{3}]\rightarrow \mathbb{Z}_7[\sqrt{3}]$ , intente buscar una composición $\mathbb{Z}[X]\rightarrow\mathbb{Z}_7[X]\rightarrow\mathbb{Z}_7[\sqrt{3}]$ . Este enfoque debería ser más fácil porque sólo tenemos un cociente polinómico con el que tratar, los dos mapas que estamos componiendo son ambos de anillos polinómicos directos. Creo que esto es mucho más sencillo de justificar.
