Enseño cálculo de primer año, y recientemente he estado discutiendo las series. En una pregunta de un examen reciente, pregunté si $\sum\frac{n^2}{n^3+1}$ converge o diverge.
Un estudiante obtuvo la respuesta correcta mediante el siguiente razonamiento incorrecto. Utilizaron la regla de L'Hopital para concluir que $\frac{n^2}{n^3+1}$ tiene el mismo límite que $\frac{2n}{3n^2}$ y como $\frac{2}{6n}$ (lo cual es cierto hasta ahora). Luego afirmaron que porque $\sum\frac{2}{6n}$ diverge, la serie original debe divergir.
Esto, por supuesto, no se deduce de nada de lo que se les ha enseñado. La regla de L'Hopital simplemente dice que si $\frac{2}{6n}$ se acerca a cero, podemos concluir que $\frac{n^2}{n^3+1}$ se acerca a cero. Pero la regla de L'Hopital, tal y como se ha establecido típicamente, no dice nada sobre la "tasa" a la que $\frac{n^2}{n^3+1}$ se acerca a cero.
Sin embargo, la siguiente conjetura parece ser cierta para muchas expresiones, como $\frac{x^a}{e^x}$ , $\frac{\ln x}{x^a}$ y $\frac{x}{x^2(\ln x)^a}$ . ¿Alguien puede ayudarme a plantear la conjetura "correcta" y una prueba?
CONJUNTO: Si $f(x)$ y $g(x)$ pertenecen a una clase "bonita" de funciones (que se acercan al infinito con $x$ ), entonces la serie infinita $\sum_n\frac{f(n)}{g(n)}$ y $\sum_n\frac{f'(n)}{g'(n)}$ ambos convergen o ambos divergen.
EDITAR: Al parecer, ya se ha formulado esencialmente la misma pregunta. Y Robert Israel ha dado una buena respuesta. Sin embargo, exige que $f$ y $g$ ser meromorfo. Estaría bien que hubiera una respuesta un poco más general que incluyera los logaritmos, O un contraejemplo utilizando funciones construidas a partir de logaritmos.
