Teorema minimax de Sion se establece como:
Sea $X$ sea un subconjunto convexo compacto de un espacio topológico lineal y $Y$ un convexo de un espacio topológico lineal. Sea $f$ sea una función de valor real sobre $X \times Y$ tal que 1. $f(x, \cdot)$ es semicontinuo superior y cuasicóncavo en $Y$ para cada $x \in X$ . 2. $f( \cdot, y)$ es semicontinuo inferior y cuasiconvexo en $X$ para cada $y \in Y$ . Entonces: $$\inf_{x \in X}\sup_{y \in Y}f(x,y) = \sup_{y \in Y}\inf_{x \in X}f(x,y)$$
Si eliminamos la condición de compacidad de $X$ es decir, ambos $X$ y $Y$ son sólo subconjuntos convexos de dos espacios topológicos lineales, ¿existe algún ejemplo tal que $$\inf_{x \in X}\sup_{y \in Y}f(x,y) > \sup_{y \in Y}\inf_{x \in X}f(x,y)$$
Añadido : En este hilo Seyhmus Güngören proponen una pregunta sobre el teorema minimax de Von Neumann que puede agudizarse mediante el teorema minimax de Sion, como se señala en sus comentarios. Esta prueba elemental del teorema minimax de Sion parece depender crucialmente de la compacidad de $X$ . Así que una pregunta de seguimiento natural es ¿cuál es el ejemplo que impide que el teorema minimax pierda totalmente la compacidad en este escenario?
