$\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$ sólo si $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_n}<\infty$

Question

Para $a_n$ secuencia positiva.

Creo que puedo probar una dirección, pero no ambas.

Answer 1

Desde $\frac{a_n}{1+a_n}<a_n$ Así pues $\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$ implica $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_n}<\infty$ . Por otra parte, dejemos que $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_n}<\infty$ . Entonces $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1+a_n}=0$ y por lo tanto $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ . Así que hay $N>0$ tal que $a_n<1$ cuando $n\ge N$ . A partir de esto, tenemos $$ \frac{1}{2}a_n\le\frac{a_n}{1+a_n}, \text{ for }n\ge N $$ lo que implica $\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$ .