Para cualquier $p,q\in\mathbb{Z}[i]$ , $\mathrm{N}(\gcd(p, q))$ debe dividir $\gcd(\mathrm{N}(p), \mathrm{N}(q))$

Question

Estoy estudiando para mi examen final (álgebra abstracta) y estoy viendo un ejemplo en el que nuestro profesor intentaba calcular el GCD de dos elementos de $\mathbb{Z}[i]$ . En lugar de aplicar directamente el algoritmo euclidiano, utilizó el hecho de que (denotando los elementos respectivos de $\mathbb{Z}[i]$ como $p$ y $q$ ) la norma del gcd de $p$ y $q$ debe dividir el gcd de las normas de $p$ y $q$ . Formalmente,

$$ \mathrm{N}(\gcd(p, q)) \; \text{must divide} \; \gcd(\mathrm{N}(p), \mathrm{N}(q)). $$

Estoy hojeando nuestro libro de texto (Dummit & Foote) y no lo encuentro por ninguna parte. ¿Podría alguien darme una explicación de por qué esto debe ser cierto (prueba o simplemente razonamiento intuitivo)?

Answer 1

Por definición, tenemos $\gcd(p,q)\mid p$ y $\gcd(p,q)\mid q$ .

Para cualquier $r,s\in\mathbb{Z}[i]$ si $r\mid s$ entonces por definición $s=kr$ para algunos $k\in\mathbb{Z}[i]$ Por lo tanto $\mathrm{N}(s)=\mathrm{N}(k)\mathrm{N}(r)$ por lo que debemos tener $\mathrm{N}(r)\mid \mathrm{N}(s)$ .

Por lo tanto, $\mathrm{N}(\gcd(p,q))\mid \mathrm{N}(p)$ y $\mathrm{N}(\gcd(p,q))\mid \mathrm{N}(q)$ .

Pero, por definición, si $a,b,c\in\mathbb{Z}$ y $a\mid b$ y $a\mid c$ entonces $a\mid \gcd(b,c)$ .

Por lo tanto, $\mathrm{N}(\gcd(p,q))\mid \gcd(\mathrm{N}(p),\mathrm{N}(q))$ .

Tenga en cuenta que aquí no tiene por qué haber igualdad. Por ejemplo, con $p=1+2i$ y $q=1-2i$ , $$\mathrm{N}(\gcd(p,q))=\mathrm{N}(1)=1\qquad \gcd(\mathrm{N}(p),\mathrm{N}(q))=\gcd(5,5)=5$$

Answer 2

Sugerencia $\rm\ \ d\mid p,q\,\Rightarrow\, d'\mid p',q'\Rightarrow\, dd'\mid pp',qq'\Rightarrow\, dd'\mid(pp',qq')$

Observación $\ $ Funciona en cualquier dominio UFD/GCD, para $\, x\mapsto x'$ generalizado de conjugación a cualquier multiplicativo que necesariamente preserva divisibilidad habilitando la primera flecha de arriba.