Demostrar la convergencia débil en $C[0,1]$

Question

Tengo que demostrar que (1) si una secuencia de funciones $(f_n) \subset C[0,1]$ es débilmente convergente a $f\in C[0,1]$ entonces $f_n(x)\rightarrow f(x)$ para cualquier $x \in [0,1]$ . También tengo que (2) demuestran que la convergencia puntual de $(f_n) \subset C[0,1]$ no implica una convergencia débil.

Mi intento:

(1) Sea $(f_n) \subset C[0,1]$ sea una secuencia que converge débilmente a $f\in C[0,1]$ Tenemos: $$\forall \phi \in B(C[0,1],\mathbb{K}): |\phi f_n(x)-\phi f(x)|\rightarrow 0 \:\:\:\: \forall x\in[0,1]$$ Ahora toma $\theta : f \rightarrow f(x)$ Obviamente: $$\theta \in B(C[0,1],\mathbb{K})$$

que tenemos:

$$|f_n(x)- f(x)| \rightarrow 0$$

(2) Considero lo funcional: $$\alpha(f)=\int_0^1f(t)dt$$ pero no se me ocurre ninguna secuencia $(f_n)$ que converge puntualmente en algún $f$ y $| \alpha(f_n-f)|$ no va a $0$ . ¿Alguna ayuda?

Answer 1

(1) Sólo conoce la convergencia $\phi(f_n) \rightarrow \phi(f)$ para funciones lineales acotadas $\phi$ no para mapas lineales arbitrarios $\phi \in B(C([0,1]), Y)$ (y, como señala Daniel Fischer: ¿Qué es $Y$ ?).

Convéncete de que el funcional lineal y acotado $\phi_x(f) := f(x)$ hace el trabajo.

(2) Pruebe algo como $f_n = n \cdot \chi_{(0, 1/n)}$ . Por supuesto, hay que modificar la idea para que sea una función continua.