Converse to Modularity II: formas de cúspide de Maass

Question

(Esto procede de esta otra pregunta . Allí encontrará más información)

La siguiente biyección es ahora un teorema:

impar irreducible 2-dim Galois repn $\longleftrightarrow$ w newforms

nota: Las representaciones de Galois se consideran continuas, complejas y lineales.

Es natural preguntarse si la correspondencia equivalente para representaciones pares es válida:

Incluso irreducible 2-dim Galois repn $\longleftrightarrow$ Formas de cúspide de Maass con $\lambda = 1/4$

Todo no icosaédrico incluso irr. 2-dim surge de una forma cúspide de Maass con valor propio $1/4$ de los casos conocidos de la conjetura fuerte de Artin, de modo que

Incluso irreducible 2-dim Galois repn $\longrightarrow$ Formas de cúspide de Maass con $\lambda = 1/4$

es casi un teorema. Puedes suponer que lo es, a efectos de esta pregunta: ¿hasta qué punto se sabe que es una biyección, como en el caso impar? ¿Existe un teorema inverso, análogo al resultado de Serre-Deligne?

Answer 1

Esta es una gran pregunta. No soy un experto, pero comparto lo que sé.

Conjeturamos que se trata de una biyección. La publicación más relevante que conozco se debe a Blasius-Ramakrishnan (MR1012167) que proporcionó una estrategia para asociar $2$ -representaciones Galois complejas pares a formas de Maass con valor propio de Laplace $1/4$ . Gelbart escribió en su reseña de la AMS sobre este artículo que posteriormente los autores, junto con Clozel y Harris, demostraron la algebraicidad de los valores propios de Hecke de tales formas de Maass. incondicionalmente . Henniart impartió un seminario Bourbaki sobre este tema (MR1040577), y luego publicó una fe de erratas (MR1157812) cuya reseña AMS de Zink dice así:

El teorema de Blasius, Clozel y Ramakrishnan de que los valores propios de los operadores de Hecke para formas de Maass de tipo Galois son números algebraicos, que el autor había discutido en el artículo original, debe considerarse no demostrado hasta ahora. El problema es que la transferencia $\Pi$ de una representación de Maass $\pi$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{A}_\mathbf{Q})$ a $\mathrm{GSp}_4(\mathbf{A}_\mathbf{Q})$ es diferente de lo que se ha dicho antes, a saber, su componente infinito $\Pi_\infty$ se produce en un $L$ -paquete que no contiene límites de la serie discreta.

La errata se basa en una carta de Blasius y Ramakrishnan, fechada el 9 de abril de 1991.

Añadido. Ya se planteó una pregunta similar en MO, véase aquí .