Estimar la varianza de una función dadas las varianzas de las variables

Question

Me dan la media y la desviación típica de N variables aleatorias gaussianas $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ... Calculo la función $f:=f(A, B, C, D...) = \frac { AB... }{ CD... } $ . ¿Cómo puedo estimar la varianza del resultado de $f$ ?

EDITAR He editado mi post original para reflejar un caso más general.

Answer 1

La cuestión general de cómo se transmiten los errores en una función de más de una variable aleatoria en una función de esas variables se denomina "propagación de errores", que es una etiqueta de este sitio. Esta página ofrece una explicación bastante completa para el caso de la proporción. Sigue el error-propagation en este sitio, o realice búsquedas en Internet de "propagación de errores" y "producto" para el caso general (como la etiqueta $C$ o $D$ los términos del denominador pueden escribirse como productos del numerador con funciones $1/C$ , $1/D$ etc.)

Tenga en cuenta que tendrá problemas si alguna de las variables aleatorias del denominador tiene valores medios próximos a 0, y que las correlaciones entre las variables aleatorias pueden dificultar la expresión de una fórmula sencilla.

Si se producen errores en $X$ y $Y$ son aproximadamente proporcionales a sus valores, entonces se puede analizar el logaritmo de la relación, y los complicados cálculos del producto se convierten en un simple caso aditivo, $log(f)= log(X) - log(Y)$ para la pregunta original sobre la relación $X/Y$ . Entonces se aplica la ley estándar para la varianza de una suma/diferencia de variables aleatorias. Para el caso más general de la pregunta editada, los logaritmos simplifican de forma similar si procede.