Forma cerrada de una secuencia de recurrencia no lineal.

Question

El teorema maestro parece fallar en funciones recursivas no lineales. ¿Existe alguna herramienta estándar para encontrar las formas cerradas de funciones recursivas de esta forma?

La pregunta viene de intentar encontrar la forma cerrada de la siguiente función recursiva: $f_i(X) = (f_{i-1}(X)^2 + f_{i-1}(X))/2$
Dónde:
$f_0(X) = X$

Estaría dispuesto a desprenderme de las relaciones de recurrencia para esta función, pero estaría mucho más encantado de aprender un método general o un truco que haga sencilla la búsqueda de formas cerradas de funciones como ésta.

Answer 1

Como ya se ha explicado, en general no hay esperanza de encontrar soluciones explícitas a las recurrencias no lineales. Sin embargo, para su ejemplo, es posible encontrar $\lim_{n\to\infty}f_n(X)$ para todos los reales $X$ .

La función $g(x)=(x^2+x)/2$ tiene dos puntos fijos: $x=0$ (atractor) y $x=1$ (repulsor). Sus respectivos conjuntos estables son $(-2,1)$ y $\{-2,1\}$ ; $(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$ es el conjunto estable de $+\infty$ . Así,

$$\lim_{n\to\infty}f_n(X)=\left\{\matrix{0, & X\in(-2,1)\cr 1, & X\in\{-2,1\}\cr +\infty, & X\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)}\right.$$