Dos teoremas que utilizaremos sobre la convergencia uniforme:
Teorema 1 Sea $f,f_n:X\to \mathbb{R}$ . Si $f_n$ es continua en $a\in X$ para $n=0,1,...$ y $\sum_{k=0}^{\infty}f_k$ converge uniformemente, entonces $\sum_{k=0}^{\infty}f_k(x)$ es continua en $a$
Teorema 2 Sea $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ . Si $f_n$ es integrable para $n=0,1,...$ y $\sum_{k=0}^{\infty}f_k$ converge uniformemente, entonces \begin{equation}\int_{a}^{b}\sum_{k=0}^{\infty}f_k=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{a}^{b}f_k \end{equation}
Ahora como dijo el OP la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$$ converge uniformemente en $[-1,1]$ y a una función $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ . Lo mismo puede decirse de la serie derivada $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}$$ que converge unívocamente en $(-1,1)$ a algunos $g$ . Que $g$ es continua, por lo que \begin{equation}\int_{a}^{x}g=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{x}\frac{t^{n-1}}{n}\, dt= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}-\frac{a^n}{n^2}=f(x)-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n^2}\end{equation} para $-1<a<x<1$ . Por lo tanto, por el 1er teorema fundamental del cálculo, $f$ es diferenciable en $(-1,1)$ y $f^{\prime}=g$ .
Desde $f$ es continua en $[-1,1]$ y diferenciable en $(-1,1)$ por el Teorema del Valor Medio para valores pequeños arbitrarios $h>0$ , $$\exists \xi\in (-1,-1+h):f^{\prime}(\xi)=\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h} $$ En $h\to 0^+$ , $\xi \to -1^+$ y $f(x)\to \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ que converge y así $f$ es diferenciable en $-1$ .
Porque $\lim_{x\to 1^-}f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty$ , $f$ no es diferenciable en $1$ . Recuerde que $f^{\prime}$ sólo puede tener discontinuidades esenciales y no polos.
Por lo tanto, $f$ es diferenciable sólo en $[-1,1)$ y $$f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}$$
