Expectativa del máximo de variables aleatorias poisson independientes

Question

Estoy tratando de probar la siguiente estimación de la expectativa del máximo de variables aleatorias poisson independientes. Me he interesado por este problema al leer el libro de Joel A. Tropp " Introducción a las desigualdades matriciales de concentración "(apartado 5.1.2). La siguiente estimación se utiliza como paso clave para demostrar la optimalidad del límite de Chernoff matricial. También creo que esta estimación es útil para explicar la agudeza de la desigualdad matricial de Bernstein.

Estimación deseada:

Sea $X_i, i = 1, 2, \dots, n$ sean independientes Possion(1) independientes. Entonces, $$ \mathbb{E}\max_{1 \leq i\leq n}X_i \approx C\frac{\log n}{\log \log n}, $$ donde $C$ es una constante.

Tropp utilizó este hecho sin aportar ninguna prueba ni referencia. Pero, después de trabajar en esto durante un tiempo, no me parece algo trivial. Después de buscar un rato, encontré que el resultado deseado parece seguirse de los resultados por A.C.Kimber y C.W.Anderson .

Sin embargo, creo que sería mejor encontrar una forma más directa o elemental de obtener la estimación deseada.

Agradecería mucho cualquier consejo, sugerencia o referencia.

Answer 1

Esto es sólo un esbozo, pero podrías convertirlo en una prueba.

La FDA del máximo de $n$ variables independientes es el producto de sus FCD, por lo que si están idénticamente distribuidas, ésta es la $n$ -de su FCD. Como $n\to\infty$ tenemos $F(x)\to1$ y así

\begin{eqnarray} \log F(x)^n &=& n\log F(x) \\ &\approx& n(F(x)-1)\;. \end{eqnarray}

Como la distribución del máximo es muy aguda, esto tiene que ser $\log\frac12$ cerca de la media. Para la distribución de Poisson con media $1$ ,

$$ F(x)-1=-\mathrm e^{-1}\sum_{k=\lceil x\rceil}^\infty\frac1{k!}\;. $$

Para $n\to\infty$ está dominado por el primer término, $-\frac1{\mathrm e\lceil x\rceil!}$ . Configuración

$$ \frac n{\mathrm ex!}\approx\log2 $$

y utilizando la aproximación de Stirling para el factorial se obtiene

$$ x(\log x - 1)\approx\log n\;, $$

que conduce a

$$x\sim\frac{\log n}{\log\log n}\;.$$