En el artículo de 't Hooft "Cálculo de los efectos cuánticos de una pseudopartícula cuatridimensional" (1976), en la página 3434, el autor escribe lo siguiente:
(i) La amplitud de vacío a vacío en ausencia de fuentes debe normalizarse a $1$ para que el estado de vacío tenga norma $1$ . Esto implica que $W$ debe dividirse por la misma expresión con $A^{\textrm{cl}}=0$ .
¿No es QFT estándar dividir por la amplitud con la fuentes ¿a cero? es decir, con $J_{st}=0$ ? Configuración $A^{\textrm{cl}}=0$ no tiene sentido para mí, porque $A^{\textrm{cl}}$ se establece mediante la acción clásica.
En QFT estándar, el generador de funciones de correlación normalizadas es:
$$\frac{Z[J]}{Z[0]}=\sum_{k=0}^{\infty}\,\,\,\sum_{m_1,m_2,\cdots m_k}\frac{1}{m_1!\cdots m_k!}\int d^4x_{1}\cdots d^4x_k\, J(x_1) \cdots J(x_k)\,\langle\Omega|\phi^{m_1}_{1}(x_1)\cdots\phi^{m_k}_{k}(x_k)|\Omega\rangle_{\textrm{normalized}}$$
$$\implies \langle\Omega|\phi^{m_1}_{1}(x_1)\cdots\phi^{m_k}_{k}(x_k)|\Omega\rangle_{\textrm{normalized}}=\frac{\delta^{m_1}}{\delta J(x_1)^{m_1}}\cdots\frac{\delta^{m_k}}{\delta J(x_k)^{m_k}}\frac{Z[J]}{Z[0]}$$
Lo que da correctamente $\langle \Omega |\Omega\rangle_{\textrm{normalized}}=1$ .
Supongo que mi pregunta puede generalizarse a ¿cómo normalizar correctamente una amplitud cuántica en QFT? Realmente pensaba que todo lo que se hace es dividir por $\langle \Omega|\Omega\rangle=Z[0]$ es decir, la función de partición con $J=0$ .
