Sea $a_1 , a_2 > 0$ y para $j \ge 3$ defina $a_j = a_{j-1} + a_{j-2}$ . Demuestre que esta sucesión no puede converger a un límite finito.

Question

Estaba tratando este problema y me pregunto si podría tener algún comentario para mi solución.

Sea $a_1 , a_2 > 0$ y para $j \ge 3$ defina $a_j = a_{j-1} + a_{j-2}$ . Demuestre que esta sucesión no puede converger a un límite finito.

Supongamos que $\{a_j\}$ converge a un número finito $L$ . Entonces $\epsilon = a_1 > 0$ y existe $N$ tal que $|a_j-a_{j+1}| < \epsilon = a_1$ para todos $n > N$ . $$|a_j-a_{j+1}| = |a_j+a_{j-1}-a_j| = |a_{j-1}|$$ Sin embargo, dado que $|a_{j-1}| > \epsilon = a_1$ para todos $n$ se contradice, y la secuencia diverge.

¿Es esto correcto? o ¿hay alguien que pueda dar alguna pista?

Gracias, señor.

Answer 1

Los dos lugares donde has escrito $n$ querías decir $j$ . Además, sólo podemos garantizar que $a_j>a_1$ para $j\ge 3$ ya que $a_2$ podría ser inferior o igual a $a_1$ . Son pequeños errores técnicos, y aparte de ellos el argumento es correcto, excepto que realmente deberías incluir la justificación del hecho de que $a_j>a_1$ para $j\ge 3$ aunque es una prueba muy fácil por inducción.

Quizá le interese un enfoque alternativo. Deje que $a=\min\{a_1,a_2\}$ claramente $a_2\ge a$ y $a_3\ge 2a$ . Supongamos que $n>3$ y $a_j\ge(j-1)a$ para $2\le j<n$ . Entonces

$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\ge(n-2)a+(n-3)a\ge(n-1)a\,,$$

y por inducción $a_n>(n-1)a$ para todos $n\ge 2$ . Por lo tanto, la secuencia no tiene límites y no puede converger a un límite finito.

Si conoce el Números de Fibonacci se puede utilizar el mismo método para demostrar que $a_n\ge F_na$ para $n\ge 1$ . Es conocido que $F_n$ es el número entero más próximo a $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ donde $\varphi=\frac12\left(1+\sqrt5\right)\approx 1.618>1$ por lo que, de hecho, la secuencia $\langle a_n:n\ge 1\rangle$ crece exponencialmente rápido.

Answer 2

Otra idea : dejar $$\min \{ a_1 , a_2\}=m$$ y sabemos $m>0 $ así que $$a_3=a_2+a_1\geq m+m=2m$$ y $$a_4=a_3+a_2\geq2m+m=3m\\a_5=a_4+a_3 \geq 3m+2m >4m\\\vdots\\a_n\geq(n-1)m ,m >0 \\\to \lim_{n\to \infty}a_n\to +\infty$$