Un integral difícil: $\int_0^{\pi/2} (\log \sin x)^2 \ dx $

Question

Probé la integración por partes, pero que terminó con sen registro intetgral * log cos x de 0 a pi / 2 He intentado utilizar la forma exponencial para la integración, pero no pude seguir integrando

Answer 1

Desde $\log^{n}(1+z)$ es holomorphic en la unidad de disco $\Bbb{D}$, tenemos

$$\int_{|z|=r} \frac{\log^{n}(1+z)}{z} \, dz = \log^{n}(1+0) = 0. $$

Conectar $z = r e^{i\theta}$ y teniendo en $r \to 1^{-}$, obtenemos

$$\int_{-\pi}^{\pi} \log^{n}(1 + e^{i\theta}) \, d\theta = 0. $$

(Por supuesto, esta limitación proceso exige una justificación, pero se omite esta parte y concentrarse en el cálculo de la misma). Simplificando, obtenemos

$$ \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^{k} \binom{n}{2k} \int_{0}^{\pi/2} \theta^{2k} \log^{n-2k} (2 \cos \theta) \, d\theta = 0. \tag{1} $$

Conectar $n = 1$$(1)$, obtenemos

$$ \int_{0}^{\pi/2} \log \cos \theta \, d\theta = -\frac{\pi}{2}\log 2. \tag{2} $$

Conectar $n = 2$$(1)$,

$$ \int_{0}^{\pi/2} \log^{2}(2\cos\theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \theta^{2} \, d\theta = \frac{\pi^{3}}{24}. \tag{3} $$

La combinación de $(2)$ $(3)$ da el resultado deseado:

$$ \int_{0}^{\pi/2} \log^{2} \sin\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \log^{2} \cos\theta \, d\theta = \frac{\pi^{3}}{24} + \frac{\pi}{2}\log^{2} 2. $$