Prueba $f'''(x) \geq 3$ para algunos $x \in (-2,2)$ si $f$ es cont en $[-2,2]$ y tres veces diferenciable en $(-2,2)$ & $f(2)=-f(-2)=4$ & $f'(0)=0$

Question

Demostrar que existe un $x \in (-2,2)$ tal que $f'''(x) \geq 3$ si $f$ es cont en $[-2,2]$ y tres veces diferenciable en $(-2,2)$ con valores $f(2)=-f(-2)=4$ & $f'(0)=0$ .

¿Cómo se gestiona $f'''(x)$ ?

Cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Defina $$ g(x) = f(x) - \frac 12 x^3 \, . $$ Entonces $$ g(-2) = g(2) = 0 \,, \\g'(0) = 0 \, , \\ g'''(x) = f'''(x) - 3\, . $$

Se deduce del teorema de Taylor aplicado a $g$ en el intervalo $[0, 2]$ que hay un $a \in (0, 2)$ tal que $$ g(2) = g(0) + g'(0) \, (2-0) + \frac{g''(a)}{2!} \, (2-0)^2 $$ y por lo tanto $g''(a) = - \frac 12 g'(0) \,$ .

De la misma manera obtenemos un $b \in (-2, 0)$ tal que $g''(b) = - \frac 12 g'(0) \,$ .

Así que tenemos $g''(a) = g''(b)$ para algún valor $b < a$ . Del teorema del valor medio se deduce que existe un $c \in (b, a)$ tal que $g'''(c) = 0$ y, por lo tanto $f'''(c) = 3$ .