¿Relación de recurrencia de la siguiente secuencia?

Question

Este es el código:

for (unsigned int i = 0; i < n; ++i)
        if (i % 2 == 0)
            ++k;

Y esta es la salida para cuando n y k empezar en 1 y 0 respectivamente:

\begin{array}{c|c} n & k\\\hline 1 & 1\\ 2 & 1\\ 3 & 2\\ 4 & 2\\ 5 & 3\\ 6 & 3\\ 7 & 4\\ 8 & 4\\ 9 & 5\\ 10 & 5\\ 11 & 6\\ 12 & 6\\ 13 & 7\\ 14 & 7\\ 15 & 8\\ 16 & 8\\ 17 & 9\\ 18 & 9\\ 19 & 10\\ 20 & 10\\ \end{array}

Necesito expresar esto como una secuencia. Algo así como $a_n = ..$ . ¿Cómo lo haría?

Sé que sería algo así como $a_n = \frac{n}{2}$ cuando $n$ es par, y $a_n = \lceil\frac{n}{2}\rceil$ de otra manera, pero ¿hay alguna forma diferente?

Answer 1

La solución sencilla es la que usted menciona

$$a_n=\left\lceil\frac n2\right\rceil$$

Otra forma de expresarlo podría ser:

$$a_n=\frac n2+\frac12\!\left|\,\sin\left(\frac{\pi x}2\right)\right|$$

Derivación de la fórmula anterior:

Partimos de la fórmula $$a_n=\left\lceil\frac n2\right\rceil$$ En $n$ es par esto es igual a $$a_n=\frac n2$$ Y cuando $n$ es impar esto es igual a $$a_n=\frac n2+\frac12$$

Esto significa que si encontramos una función $f(x)$ que es igual a $0$ si $n$ es par y $\frac12$ cuando $n$ es impar entonces lo siguiente sería cierto.

$$a_n=\frac n2+f(x)$$

Para encontrar dicha función, utilizaré la periodicidad de $\sin x$ es decir, si $k$ es un número entero, entonces $\sin(\pi k)=0$

Otro dato sobre la función seno es que $\sin\left(\pi\cdot\!\!\left(k + \frac12\right)\right)=\pm1$ donde el $\pm1$ que para algunos enteros es $1$ y para otros es $-1$

De estos dos hechos se deduce que

$$\sin\left(\frac{\pi k}2\right)$$

es cero para $k$ y $\pm1$ para impar $k$ Toma el valor absoluto y la mitad, tienes nuestra función $f(x)$

$$f(x)=\frac12\!\left|\,\sin\left(\frac{\pi x}2\right)\right|$$

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También se puede escribir así:

$$a_1=1$$ $$a_2=1$$ $$a_n=1+a_{n-2}$$