Prueba de la propiedad de los polinomios

Question

Sea $$P(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k=a_0+a_1z+...+a_nz^n$$ sea un polinomio de grado N-ésimo de una variable compleja z, donde el $a_k$ son constantes complejas. Ahora, $$\vert a_0\vert-\vert a_1\vert x-...-\vert a_n\vert x^n=0$$ Tiene exactamente una raíz, $r$ para $x \in [0,\infty)$ . Teniendo esto en cuenta, ¿cómo se podría demostrar que $$P(z)\neq 0 \ \text{for} \ \vert z\vert \lt r$$

Answer 1

Desigualdad triangular: $$|P(z)| \ge |a_0| - |a_1| |z| - \ldots - |a_n| |z|^n$$

Answer 2

Usando ambos lados de la desigualdad triangular tienes :

$$|P(z)|\geq |a_0|-|a_1z+...a_nz^n|\geq |a_0|-(|a_1||z|+...|a_n||z|^n) $$

Por lo tanto, si :

$$f(x):=|a_0|-|a_1|x-...-|a_n|x^n $$

Usted tendrá que :

$$|P(z)|\geq f(|z|) $$

Ahora sólo tienes que encontrar una manera de justificar que $f(x)>0$ para $x\in (0,r)$ .