multiplicación de paréntesis que contienen vectores

Question

Estoy leyendo este libro y me encontré con una transformación que no entendí:

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\mathbf{x}_{i} - \mathbf{\bar{x}}) (\mathbf{x}_{i} - \mathbf{\bar{x}})^{T} = \frac{1}{N} (\sum_{i=1}^{N} \mathbf{x}_{i}\mathbf{x}_{i}^{T})-\mathbf{\bar{x}}\mathbf{\bar{x}}^{T}$

donde $\mathbf{x}_{i}$ y $\mathbf{\bar{x}}$ son ambos vectores.

Cuando amplío los corchetes obtengo algo como esto:

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\mathbf{x}_{i} - \mathbf{\bar{x}}) (\mathbf{x}_{i} - \mathbf{\bar{x}})^{T} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbf{x}_{i}\mathbf{x}_{i}^{T}-\mathbf{x}_{i}\mathbf{\bar{x}}^{T}-\mathbf{\bar{x}}\mathbf{x}_{i}^{T}+\mathbf{\bar{x}}\mathbf{\bar{x}}^{T}$

¿Puede alguien explicarme qué estoy haciendo mal?

Answer 1

No estás haciendo nada malo \begin{eqnarray*} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\mathbf{x}_{i} - \mathbf{\bar{x}}) (\mathbf{x}_{i} - \mathbf{\bar{x}})^{T} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\mathbf{x}_{i}\mathbf{x}_{i}^{T}-\mathbf{x}_{i}\mathbf{\bar{x}}^{T}-\mathbf{\bar{x}}\mathbf{x}_{i}^{T}+\mathbf{\bar{x}}\mathbf{\bar{x}}^{T}). \end{eqnarray*} Ahora usa $ \mathbf{\bar{x}}= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbf{x}_{i} $ \begin{eqnarray*} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\mathbf{x}_{i} - \mathbf{\bar{x}}) (\mathbf{x}_{i} - \mathbf{\bar{x}})^{T} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\mathbf{x}_{i}\mathbf{x}_{i}^{T})-\mathbf{\bar{x}}\mathbf{\bar{x}}^{T}-\mathbf{\bar{x}}\mathbf{\bar{x}}^{T}+\mathbf{\bar{x}}\mathbf{\bar{x}}^{T} \end{eqnarray*} para que los términos se anulen y obtengas el resultado deseado.