La inclusión $I\colon \mathbf{Grpd}\hookrightarrow\mathbf{Cat}$ de groupoides en categorías tiene un adjunto a la izquierda y a la derecha $L,R\colon \mathbf{Cat}\to \mathbf{Grpd}$ con $R(C)$ siendo el mayor groupoide contenido en $C$ y $L(C) = C[C^{-1}]$ en $C$ con todos los morfismos brutalmente invertidos. Entrando en $\infty$ -podemos sustituir $\mathbf{Cat}$ por complejos Kan débiles (también conocidos como cuasicategorías) y $\mathbf{Grpd}$ mediante complejos Kan ( $\infty$ -groupoides). La inclusión $I\colon \mathbf{Kan}\hookrightarrow\mathbf{WKan}$ todavía tiene un adjunto a la derecha, dado tomando el mayor complejo Kan contenido, como se documenta en el Corolario 1.5 en Joyal, A. , Cuasicategorías y complejos de Kan J. Pure Appl. Algebra 175, nº 1-3, 207-222 (2002). ZBL1015.18008 .
Sin embargo, la cuestión ahora es: ¿Tiene también un adjunto izquierdo (posiblemente en algún sentido superior)? Esto tendría que ser algo así como tomar un complejo Kan débil y brutalmente invertir todos $1$ -morfismos. ¿Tiene esto algún sentido, posiblemente no canónico?
Si no ¿existe al menos algún $\infty$ -análogo del grupoide (" $\Delta^n_{\text{$ \infty $-grpd}}$ ") del simplex estándar $\Delta^n\in\mathbf{SSet}$ comportándose un poco como $L(\Delta^n)$ , algo así como complejo Kan libre en $n+1$ ¿Objetos? Y en este caso, ¿por qué esta construcción no resuelve mi primer problema poniendo $$L(K) = \varinjlim_{\Delta^n\to K} \Delta^n_{\text{$ \infty $-grpd}}? $$
