Puntos enteros de la red en una esfera

Question

Supongamos que tenemos una esfera centrada en el origen de $\mathbb{R^{n}}$ con radio $r$ . ¿Existen teoremas conocidos que establezcan el número de puntos enteros de la red que se encuentran en la esfera? Parece que esto es algo que alguien ha estudiado, así que espero que alguien aquí pueda indicarme algunas referencias.

Además, considere los puntos de la red que se encuentran en esta esfera. ¿Existe un límite inferior conocido para el número de vecinos (puntos enteros de la red situados a distancia euclídea $1$ de estos puntos de la red que no se encuentran en la esfera en función de $r$ y $n$ ?

Answer 1

Existe una expresión para esto, si $r$ es un número entero. Véase proyectoteuclid . También, OEIS A016725 .

No soy un teórico de los números. Acabo de descubrir esto mientras buscaba otra cosa.

Answer 2

El problema del número exacto que se encuentra en la superficie es de naturaleza teórica de números. Tiene que ver con el número de formas en que podemos expresar un número entero como la suma de $n$ cuadrados. Gran parte del trabajo moderno y clásico en teoría de números está relacionado con esta cuestión.

El otro problema, en el que contamos todos los puntos del interior en lugar de sólo los del límite, es de otro tipo. Si $a_r$ denota el número de puntos de la red en la superficie de la esfera 3D de radio $r$ centrado en el origen, entonces cada individuo $a_r$ fluctúa de forma bastante errática. Si estudiamos la suma $ a_1 + a_2 + \cdots + a_r$ en su lugar, entonces obtenemos un comportamiento más suave y se pueden aplicar métodos analíticos. Véase, por ejemplo ici ).