¿Qué es la $\mathbb{P}(X<a)$ y $\mathbb{P}(X=a)$ dado un FCD?

Question

Supongamos que tengo la siguiente cdf de una variable aleatoria $X$ .

$$ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x < 0; \\ x/2 & \text{if } 0 \leq x < 1; \\ 2/3 & \text{if } 1 \leq x < 2; \\ 11/12 & \text{if } 2 \leq x < 3; \\ 1 & \text{if } x \geq 3.\end{cases} $$

En primer lugar, ¿qué es $\mathbb{P}(X<3)$ ? ¿Es $\frac{11}{12}$ ? En segundo lugar, ¿qué es $\mathbb{P}(X=1)$ ? ¿Es $\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ ?

Answer 1

En $F(x) = \mathbb{P}(X \leqslant x)$ es continua por la derecha, es decir $F(x) = \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} F(x+\epsilon)$ tenemos: $$ \mathbb{P}(X=x) = F(x) - \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} F(x-\epsilon) $$ et $$ \mathbb{P}(X<x) = \mathbb{P}(X \leqslant x) - \mathbb{P}(X=x) = \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} F(x-\epsilon) $$

Los valores numéricos que has calculado son correctos: $$ \mathbb{P}(X < 3) = \lim_{\epsilon \to 0^+} F(3-\epsilon) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{11}{12} = \frac{11}{12} $$ $$ \mathbb{P}(X = 1) = F(1) - \lim_{\epsilon \to 0^+} F(1-\epsilon) = \frac{2}{3} - \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1-\epsilon}{2} = \frac{1}{6} $$