Sobre equivalencias de fibraciones cartesianas

Question

Sea $p:X^{\natural} \to S$ , $q:Y^{\natural} \to S$ sean dos fibraciones cartesianas de conjuntos simpliciales (donde el marcado viene dado por aristas cartesianas) y supongamos que se nos da una equivalencia de fibraciones cartesianas $X^{\natural} \to Y^{\natural}$ .

Dada una marca en $S$ definimos el conjunto simplicial marcado $X^{\dagger}$ (resp. $Y^{\dagger}$ ) declarando que una arista está marcada si y sólo si está marcada en $X^{\natural}$ y su imagen bajo $p$ está marcado en $S$ .

Mi pregunta es la siguiente: ¿Es el mapa inducido $X^{\dagger} \to Y^{\dagger}$ ¿una equivalencia débil de conjuntos simpliciales marcados (sobre el punto)?

Answer 1

Sí. $X^{\natural} \to S$ y $Y^{\natural} \to S$ son ambas fibraciones cartesianas, son objetos fibrantes y cofibrantes en la estructura del modelo cartesiano sobre $S$ que es una estructura modelo simplicial. Si dos objetos de este tipo son débilmente equivalentes, entonces deben existir mapas $f:X^{\natural} \to Y^{\natural}$ y $g: Y^{\natural} \to X^{\natural}$ en $S$ con homotopías $\eta:(\Delta^1)^{\sharp} \times X^{\natural} \to X^{\natural}$ y $\tau:(\Delta^1)^{\sharp} \times Y^{\natural} \to Y^{\natural}$ (de nuevo sobre $S$ ) de $g \circ f$ y $f \circ g$ a las respectivas identidades. Estos mapas y homotopías implican en particular que $X^{\natural}$ y $Y^{\natural}$ son equivalentes como conjuntos simpliciales marcados sobre el punto. Esto sigue siendo cierto si eliminamos algunas de las marcas, siempre que lo hagamos de una manera que dependa sólo de alguna marca de $S$ . En efecto, mientras $f,g,\eta$ y $\tau$ siguen conservando el marcado, seguirán determinando una equivalencia.