En resumen, lo que hace que un superconductor sea topológico es la estructura de banda no trivial de las cuasipartículas de Bogoliubov. Por lo general, se pueden clasificar los sistemas de fermiones en hueco que no interactúan basándose en la estructura de banda de una sola partícula (así como en la simetría), y el resultado es la llamada tabla decádica/periódica. La superconductividad topológica mencionada en la pregunta está relacionada con la clase D, es decir, superconductores sin más simetrías que la simetría partícula-agujero. El ejemplo más simple en 2D es un superconductor sin espín $p_x+ip_y$ superconductor:
$H=\sum_k c_k^\dagger(\frac{k^2}{2m}-\mu)c_k+ \Delta c_k^\dagger(k_x+ik_y)c_{-k}^\dagger+\text{h.c.}=\sum_k (c_k^\dagger, c_{-k})\left[(k^2/2m-\mu)\tau_z+\Delta k_x\tau_x+\Delta k_y\tau_y\right]\begin{pmatrix}c_k\\ c_{-k}^\dagger\end{pmatrix}$
Este Hamiltoniano define un mapa desde el $k$ (topológicamente una esfera $S^2$ ) a un $SU(2)$ matriz $m_k\cdot \sigma$ donde $m_k\propto (\Delta k_x, \Delta k_y, \frac{k^2}{2m}-\mu)$ (luego normalizado), que también vive en una esfera. Por lo tanto, tales mapas se clasifican por $\pi_2(S^2)=\mathbb{Z}$ . Si dos hamiltonianos pertenecen a la misma clase de equivalencia en el grupo de homotopía, significa que se puede deformar continuamente el hamiltoniano de uno a otro sin cerrar la brecha, por lo que son topológicamente indistinguibles.
El número entero, llamado número de Chern $C$ que clasifica la clase D de superconductores topológicos puede calcularse a partir del Hamiltoniano, y en este caso es $C=1$ . Esta idea se puede generalizar a otras clases de simetría y dimensiones, básicamente se necesita entender el mapa desde el espacio de momento al espacio "Hamiltoniano" apropiado de una sola partícula (el caso general es mucho más complicado que la $2\times 2$ Hamiltoniano).
Este modelo de juguete (y sus descendientes unidimensionales) está detrás de todas las propuestas recientes de realización de superconductores topológicos en sistemas de estado sólido. La idea básica consiste en combinar varios elementos mundanos (semiconductores, superconductor de onda s, ferromagneto, etc.): puesto que los electrones tienen espín- $1/2$ En los superconductores de onda s, se necesita un campo Zeeman para romper la degeneración de espín y obtener una superficie de Fermi no degenerada (por tanto, fermiones "sin espín", realmente polarizados por espín). Sin embargo, en los superconductores de onda s los electrones con espines opuestos están emparejados. Por eso es necesario el acoplamiento espín-órbita, ya que hace que el espín del electrón "serpentee" en la superficie de Fermi, de modo que a $k$ y $-k$ los electrones pueden emparejarse. Juntando todos estos elementos se puede crear un superconductor topológico.
Existen diversas consecuencias físicas. La característica general es que ocurre algo peculiar en el límite entre superconductores pertenecientes a diferentes clases topológicas. Por ejemplo, si el $p_x+ip_y$ superconductor tiene un borde hacia el vacío, hay fermiones de Majorana quirales sin huecos localizados en el borde. Además, si se pone un $hc/2e$ vórtice en el superconductor, atrapa un estado ligado de Majorana de energía cero.
En la pregunta también se mencionaban los cupratos. Hay algunas especulaciones sobre la posibilidad de $d+id$ en cupratos, probablemente motivado por la medición de las rotaciones Kerr, que es una señal de ruptura de la simetría tiempo-reversa. Sin embargo, esto es muy discutible y no está muy bien aceptado. Obsérvese que $d+id$ superconductor es el $C=2$ caso de la familia de clase D.
Para saber más sobre el tema recomiendo la excelente reseña de Jason Alicea: http://arxiv.org/abs/1202.1293 .
