Un problema me pidió que muestran que un grupo, $G$, de la orden de $1225= 5^{2}\times 7^{2}$ es abelian. Hice esto mediante el uso del Teorema de Sylow para demostrar que tenemos dos subgrupos normales: uno de orden $49$ y el otro de orden $25$. Desde la intersección de estos subgrupos debe ser $1$, se deduce que el $G$ es un producto directo de estos dos grupos. Pero subgrupos de orden $p^{2}$ son abelian, donde $p$ es un primo. Por lo tanto $G$ es abelian.
La pregunta que tengo al completar esta prueba es que parece implicar que el $G$ es isomorfo a $Z_{25} \times Z_{49}$. Pero esto no es siempre el caso, ya $Z_{35} \times Z_{35}$ también es un grupo de orden $1225$. Dónde está mi argumento fallando?
