Como se menciona en los comentarios, las láminas acíclicas para el sitio de Zariski no son las mismas que las láminas acíclicas para el sitio de étale. (ver la edición para la razón).
Considere $\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}$ en el sitio de Zariski y considerar la gavilla constante $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ . Desde $\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}$ es irreducible esta gavilla es flasque y por tanto acíclica para la cohomología de Zariski.
Sin embargo, el caso étale es mucho más interesante. Es bien conocido para la cohomología asociada a cualquier sitio que para $G$ una gavilla valorada en grupos, $H^1(X,G)$ son las clases de isomorfismo de $G$ -torsores (es decir, espacios homogéneos principales para $G$ ). Esto es cierto incluso si $G$ no es abeliano. Se deduce del análisis de las condiciones del cociclo.
Ahora bien, si $G$ es finito, en el caso étale esto equivale a clases de isomorfismo de cubiertas étale finitas de $Y\to X$ con grupo de automorfismo $G$ es decir, étale $G$ -torsores. Esto no es cierto en Zariski porque la topología de Zariski es demasiado gruesa para tener fibraciones no triviales.
Así $H^1_{ét}(X,\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$ clasifica todas las cubiertas étale finitas de $X$ con automorfismos $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.$
De este modo se puede calcular $H^i_{ét}(\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}).$
Consideremos la cubierta étale $$\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}}\coprod \mathbf{A}^1_{\mathbf{C}} \to \mathbf{P}^1_{\mathbf{C}} $$ y existe una secuencia de Mayer-Vietoris (se deduce de generalidades sobre secuencias espectrales, se puede consultar en el libro de texto de Milne)
$$\ldots\to H^{i}_{ét}(\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\to H^{i}_{ét}(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\oplus H^{i}_{ét}(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\to H^{i}_{ét}(\mathbf{G}_{m,\mathbf{C}},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\to H^{i+1}_{ét}(\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \to \ldots$$
Aquí $\mathbf{G}_{m,\mathbf{C}}$ es $\operatorname{Spec} \mathbf{C}[t,t^{-1}].$
Por el teorema de existencia de Riemann $\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}}$ está simplemente conectada. Nótese que este paso explota la conexión entre topologías étale y analíticas, para esto también consultar el libro de texto de Milne.
Ahora por Riemann-Hurwitz $\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}$ no tiene cubiertas étale finitas no triviales. Esto es un ejercicio de Hartshorne y de hecho es algo que se debería esperar dado que $S^2$ está a su vez simplemente conectada en la topología euclidiana.
Por tanto, los primeros grupos de cohomología desaparecen. Los segundos grupos de cohomología de todos los esquemas afines desaparecen como resultado general.
Nos queda la informática $H^{1}_{ét}(\mathbf{G}_{m,\mathbf{C}},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$ . Pero esto es lo mismo que clasificar cubiertas étale finitas de $\mathbf{G}_{m,\mathbf{C}}$ . Corresponden al grado $n$ mapas $\mathbf{G}_{m,\mathbf{C}}\to \mathbf{G}_{m,\mathbf{C}}$ enviando $$z\mapsto z^n.$$ Es un ejercicio instructivo ver que hay exactamente $\mu_n(\mathbf{C})\cong \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ (¡las cubiertas no tienen por qué estar conectadas!) clases de isomorfismo. Aquí $\mu_n(\mathbf{C})$ es el $n$ -raíces de la unidad.
Así, vemos que $H^2_{ét}(\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.$
(Aprendí este cálculo en las conferencias de de Jong sobre cohomología étale. )
Como se puede comprobar esto es lo mismo que la cohomología singular de $\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}$ en la topología analítica. Obsérvese que $H^0_{ét}(\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ desde $\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}$ está conectado.
Si se desplaza a un campo en char $p>0$ entonces ya no es cierto que la línea afín sea simplemente conexa (véase ici ). Así que este método ya no funcionará, pero insinúa ser la generalización correcta.
Edición: (Un punto de vista más geométrico)
Creo que la confusión de la OP radica en ver la definición de forma abstracta.
En general se puede mirar la categoría de las poleas en cualquier sitio. Esta categoría se denomina topos. Se puede definir la cohomología asociada a ese topos observando objetos de grupos abelianos de forma bastante general.
Sin embargo, la geometría reside en cómo son los puntos geométricos del topos. Si se acepta la filosofía de la cohomología de gavillas que mide las obstrucciones a las extensiones de secciones locales a globales, entonces la diferencia entre la cohomología de Zariski y la cohomología de étale es que los puntos geométricos llevan información distinta. Más concretamente, en la categoría de las láminas abelianas de Zariski una secuencia de láminas es exacta si y sólo si es exacta en los tallos. Al tomar secciones globales, se pierde cierta información sobre las secciones locales. Para una gavilla constante, sin embargo, hay "suficientes" secciones para parchear hasta la información global.
En el caso étale la condición local del tallo sigue siendo cierta. Sin embargo, los tallos étale son distintos de los tallos Zariski. Para una variedad compleja $X$ los anillos locales para puntos del topos étale son una henselización estricta de los anillos locales para el topos Zariski. En particular, si $\mathcal{F}$ es una gavilla de Zariski coherente, y $\mathcal{F}^{ét}$ la sheafificación étale asociada, entonces en un punto geométrico $\bar{x}\to X$ un punto étale (es decir, geométrico) de $X$ se tiene (denotamos la imagen de la $\bar{x}\to X$ por $x$ ) $$\mathcal{F}^{ét}_{\bar{x}}=\mathcal{F}_x\otimes_{\mathcal{O}_x}\mathcal{O}^{sh}_x.$$ donde $\mathcal{O}^{sh}_x$ es la henselización estricta de $\mathcal{O}_x$ el anillo local en $x$ . Por lo tanto, ¡la condición local del tallo es explícitamente diferente!
