Isomorfismo del estabilizador sobre $S_n$ a $S_{n-1}$

Question

A mi entender, para demostrar que el estabilizador de $a \in A=\{1,...,n\}$ sobre el grupo de permutaciones $S_n$ es isomorfo al grupo de permutaciones $S_{n-1}$ hay que demostrar que existe una biyección entre estos dos grupos, lo cual es fácil. Sin embargo, el otro paso es demostrar que existe un homomorfismo definido sobre esta biyección.

Un homomorfismo de este tipo puede definirse del siguiente modo: para cada permutación $\sigma \in S_n$ redefinir $\sigma(a)$ tal que $\sigma(a)=a$ y, a continuación, redefinir el elemento que inicialmente apuntaba a $a$ en $\sigma$ para señalar el elemento al que $a$ apuntaba inicialmente en $\sigma$ .

Pero la cuestión es: ¿cómo definir formalmente este homomorfismo?

Answer 1

Fijar $a \in \{1,2,\cdots, n\}$ . Es evidente que $$Stab_{S_{n}}(a)=\{\sigma \in S_{n}: \sigma(a)=a\}.$$ Eliminando de cada permutación del conjunto anterior el par $(a,a)$ tenemos el grupo simétrico en $\Omega= \{1,2,\cdots,a-1,a+1,\cdots,n\}$ et $|\Omega|=n-1$ . Obsérvese que el tipo de isomorfismo de un grupo simétrico sólo depende de la cardinalidad del conjunto subyacente que se permuta. Entonces, $Stab_{S_{n}}(a)\cong S_{n-1}$ .

Ahora, para ver que los grupos simétricos $S_{\Delta}$ y $S_{\Omega}$ son isomorfos si $|\Delta|=|\Omega|$ definir $$\phi: S_{\Delta} \rightarrow S_{\Omega} \;\; \text{by} \;\; \phi(\sigma)=f\circ \sigma \circ f^{-1}, \; \forall \sigma \in S_{\Delta}$$ donde $f$ es una biyección entre $\Delta$ y $\Omega$ . Entonces demuestre lo siguiente:

1. $\phi$ está bien definida.
2. $\phi$ es una biyección de $S_{\Delta}$ a $S_{\Omega}$ . (Hallar una inversa de dos caras para $\phi$ .)
3. $\phi$ es un homomorfismo.

(Es el ejercicio 10 del capítulo 1.6 de Álgebra Abstracta de Dummit y Foote. )

Answer 2

La respuesta de Bill Moustakas es muy buena. Otra forma de hacerlo es utilizar el hecho de que si $G$ actúa sobre un conjunto $X$ y $G_x$ es el estabilizador de $x\in X$ entonces $gG_x g^{-1}=G_{g.x}$ (asegúrate de saber por qué es así).

Aplicando esto a tu situación, toma $\tau=(a,n)\in S_n$ . Entonces $\tau(S_n)_a\tau^{-1}=(S_n)_{\tau(a)}=(S_n)_{n}=S_{n-1}$ . Como los subgrupos conjugados son isomorfos, ya está.