$\cos(a)+\cos(b)-\cos(a+b)\geq 1$

Question

Intento demostrar que $$\cos(a)+\cos(b)-\cos(a+b)\geq 1$$ Para $a,b \geq 0$ et $0\leq a+b\leq 180^°$

He comprobado en Wolfram Alpha que la desigualdad es cierta, pero no soy capaz de demostrarlo. La identidad trigonométrica que he intentado aplicar (básicamente, $$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b))$$ no parece útil tal y como está, así que si hay algún otro que creáis que pueda ayudar... cualquier pista será bienvenida.

Gracias.

Answer 1

$$\cos a + \cos b - \cos(a+b) - 1 = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2} - 2\cos^2\frac{a+b}{2} = 2\cos\frac{a+b}{2}\left(\cos\frac{a-b}{2} - \cos\frac{a+b}{2}\right)\geq 0.$$ Lo que hay entre paréntesis no es negativo porque $\cos$ disminuye en $[0,\pi/2].$

Answer 2

Como alternativa, supongamos $a$ fijo y $b=x\in\left[0, \pi-a\right]$ entonces tenemos por convexidad

$$f(x)=\cos(a)+\cos(x)-\cos(a+x)-1\ge 0$$

en efecto $f(0)=f(\pi -a)=0$ y para $x\in\left(0, \pi-a\right)$ tenemos

$$f''(x) =\cos (a+x)-\cos x\le 0$$

desde $\cos$ es decreciente en $[0,\pi]$ .

Answer 3

Si amplía $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ podemos reescribir

$$\begin{array}{crcl} & \cos a+\cos b-\cos(a+b) & \le & 1 \\[2pt] \iff & \cos a+\cos b-[\cos a\cos b-\sin a\sin b] & \le & 1 \\[2pt] \iff & \sin a\sin b & \le & 1-\cos a-\cos b+\cos a\cos b \\[2pt] \iff & \sin a\sin b & \le & (1-\cos a)(1-\cos b) \\[3pt] \iff & 1 & \le & \displaystyle\frac{1-\cos a}{\sin a}\,\frac{1-\cos b}{\sin b} \\[3pt] \iff & 1 & \le & \,\,\tan(a/2)\,\tan(b/2) \end{array} $$

Desde $0^\circ\le a/2+b/2\le90^\circ$ et $\tan$ aumenta en $[0^\circ,90^\circ]$ podemos razonar

$$ \tan(a/2)\tan(b/2) \,~\le~\, \tan(a/2)\tan(90^\circ-a/2) \,~=~\, 1, $$

por lo que la afirmación queda demostrada. (Aunque supongo que los casos extremos se tratarán por separado).

Answer 4

Tenemos: $\cos a + \cos b -\cos(a+b) - 1 = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) - 2\cos^2\left(\frac{a+b}{2}\right)+1 -1= 2x\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)-2x^2=f(x), x = \cos\left(\frac{a+b}{2}\right)$ . Ahora mostramos: $f(x) \ge 0$ o $2x^2 - 2x\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \le 0$ . Observe que $0 \le x \le \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$ como función cuadrática en $x$ , $f(x) \ge 0$ .