Puede que sea una pregunta elemental, pero no estoy seguro de cómo se utiliza la DFT/FFT para aproximar las transformadas de Fourier regulares.
Consideremos la función de distribución radial $g(r)$ . El factor de estructura se define como $$ S(q) = 1 + \rho \int_V d\vec{r} e^{-i\vec{q}\vec{r}} g(r) $$ y considerar sólo la parte integral de lo anterior. La parte integral es la transformada de Fourier de $g(r)$ .
Ahora no sé si hay alguna forma directa de calcular esa parte usando una DFT/FFT, lo que yo haría es lo siguiente.
Primero convertir a coordenadas esféricas, $$ \int_V d\vec{r} e^{-i\vec{q}\vec{r}} g(r) = 2\pi \int_{-1}^{1}d\cos{\theta} \int_{0}^{r_{max}}dr r^2 e^{-iqr \cos\theta}g(r) = \frac{4 \pi}{q} \int_{0}^{r_{max}}dr r \sin{qr} g(r) $$ Podemos escribir esto como, $$ Im\left(\frac{4 \pi}{q} \int_{0}^{r_{max}}dr g(r)re^{iqr}\right) $$ Entonces, la discretización da, $$ Im\left(\frac{4 \pi}{q} \sum_{n=0}^{k}\frac{r_{max}}{k} g(n\frac{r_{max}}{k})n\frac{r_{max}}{k}e^{iqn\frac{r_{max}}{k}}\right) = Im\left(\frac{4 \pi r_{max}^2}{k^2q} \sum_{n=0}^{k} n g_n e^{-i 2\pi \frac{q'}{k} n}\right) $$ Ahora bien, si no me he equivocado, la suma es la definición de la transformada discreta de Fourier, con $x_n = ng_n$ y puse $q' = \frac{qr_{max}}{2\pi}$ . Ahora puedo utilizar DFT/FFT para calcularlo.
Como ves, se necesitaron bastantes cálculos para llegar a la correspondencia. Así pues, la cuestión es si existe alguna correspondencia directa entre la transformada de Fourier regular y la DFT/FFT, de modo que puedan evitarse los pasos intermedios anteriores.
