diámetro y radio en grafo y grafo desconectado

Question

Tenemos un no dirigido Gráfico $G$ .

Def $1$ : En diámetro de un grafo se define como el máximo de caminos más cortos entre dos vértices de $G$ .

Def $2$ : definimos $L(S)$ como la longitud máxima del caminos de $S$ a otros vértices.

Def $3$ : definimos el radio de un gráfico como el valor mínimo de $L(S)$ entre todos los vértices de $G$ .

Si $\mathrm{diam}$ et $\mathrm{rad}$ ser diámetro y radio de la gráfica cuál de las siguientes era correcta siempre (elija la mejor opción):

1. $\mathrm{rad} \geq \frac{\mathrm{diam}}{2}$

2. $\mathrm{rad} \leq \mathrm{diam}$

Respuesta : 1 es la mejor opción.

Mi pregunta es por qué el autor elige el 1 mientras que el 2 también es cierto. Entonces mi idea es porque en la pregunta no hay ningún supuesto para el gráfico conectado tan en la opción desconectada 1 del gráfico puede manejar $\infty$ pero la opción 2 no.

Creo que el uso de las palabras "mejor opción" significa que hay un caso que podemos apoyar con una opción y que no podemos apoyar con otras.

Sé que ambos son límites superior e inferior, pero aquí hay un truco por las palabras "mejor opción". es mi conclusión sobre el apoyo a gráfico desconectado es correcta y la razón para elegir $(1)$ ¿soporta grafico conectado y desconectado al mismo tiempo? si no es asi ¿hay ¿hay alguna lógica razonable aquí?

Answer 1

Ambos son siempre ciertos (con la convención de que para un grafo desconectado, el radio y el diámetro son infinitos).

Cuál es mejor depende del contexto: ¿para qué necesita el límite? Si necesitas un límite inferior, es mejor el primero, y si necesitas un límite superior, el segundo.

Sin contexto, no hay forma razonable de decir que un límite es mejor que el otro.

Algo que podría aplicarse, pero que aquí no lo hace, es si los límites son los mejores posibles. Por ejemplo, si el segundo dijera $\mathrm{rad}\leq 2\mathrm{diam}$ entonces sería un límite peor, porque aunque cierto es más débil de lo necesario.

Sin embargo, en este caso ambos límites son los mejores posibles (es decir, igualmente buenos según esta medida), ya que para cualquier $k\geq 1$ existen grafos $G,H$ con $\mathrm{rad}(G)=k,\mathrm{diam}(G)=2k$ et $\mathrm{rad}(H)=k,\mathrm{diam}(H)=k$ (por ejemplo $G$ es la trayectoria de longitud $2k$ et $H$ es el ciclo de longitud $2k$ ).