¿Cómo puedo demostrar $\tan15^\circ=2-\sqrt3$ utilizando las fórmulas del triple ángulo?

Question

Prueba $\tan15^\circ=2-\sqrt3\,\,$ utilizando los siguientes resultados $$\sin3x=3\sin{x}-4\sin^3x$$ $$\cos3x=4\cos^3x-3\cos{x}$$

Sé que si sustituyo $x=15^\circ\,$ Puedo escribir $$\sin45=3\sin15-4\sin^315$$

$$\cos45=4\cos^315-3\cos15$$ ¿Qué puedo hacer ahora? ¿Algún consejo?

Answer 1

Sea $s=\sin 15^\circ$ , $c=\cos 15^\circ$ y $t=s/c=\tan 15^\circ\in (\tan 0^\circ,\tan 45^\circ)=(0,1)$ entonces, a partir de sus ecuaciones, ya que $\sin 45^\circ=\cos 45^\circ$ se deduce que $$s(3-4s^2)=c(4c^2-3)\implies s(3(s^2+c^2)-4s^2)=c(4c^2-3(s^2+c^2))$$ y, tras dividir ambos lados por $c^3$ obtenemos $$t(3-t^2)=(1-3t^2)\implies (t+1)(t^2-4t+1)=0.$$ (la factorización puede obtenerse observando que la ecuación de la izquierda se cumple mediante $t=-1$ ).

¿Puedes tomarlo desde aquí y encontrar la raíz $t\in (0,1)$ ?

Answer 2

Solución

Por conveniencia, denotemos $\sin 15^o=x, ~~\cos 15^o=y.$ Obviamente, $0<x<y$ et $x^2+y^2=1$ .

Así, obtenemos $$3x-4x^3=\frac{\sqrt{2}}{2},\tag1$$ et $$4y^3-3y=\frac{\sqrt{2}}{2}. \tag2$$ Por $(1)-(2)$ tenemos $$3x+3y-4x^3-4y^3=(x+y)[3-4(x^2-xy+y^2)]=0.\tag3$$ Así, $$x^2-xy+y^2=\frac{3}{4}.\tag4$$ Por lo tanto $$xy=\frac{1}{4}.\tag5$$
Además, $$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=1+2\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{2}.\tag6$$ Por lo tanto, $$x+y=\frac{\sqrt{6}}{2}.\tag7$$ En $(5),(7)$ podemos ver que $x, y$ son las raíces de la ecuación cuadrática $$t^2-\frac{\sqrt{6}}{2}t+\frac{1}{4}=0.\tag8$$ Resolviéndolo, tenemos $$x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},~~y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$ Como resultado, $$\tan 15^o=\frac{x}{y}=2-\sqrt{3}.$$

Nota

Ahora, habrás visto que el método algebraico es demasiado complicado. De hecho, existe una elegante solución geométrica sin mucho cálculo e incluso sin una palabra. ¿Puedes obtener el mismo resultado a partir de aquí?