Es $[0,\infty)$ ¿un subconjunto cerrado?

Question

Un conjunto cerrado es aquel que contiene todos sus puntos límite, aunque el final sea "abierto", ya que en el sentido tradicional cualquier secuencia que tienda al infinito nunca saldrá del subconjunto; por tanto, es cerrado. ¿Es correcta mi lógica? Gracias.

Answer 1

Este conjunto está cerrado. Obsérvese que $+\infty$ est no un número real, las secuencias que tienden a él son por tanto no convergentes y no tienen límite en $\mathbb R$ .

De ello se deduce fácilmente que $[0,\infty)$ es cerrada, ya que toda sucesión de números positivos convergentes a un límite tendría un límite no negativo que está en $[0,\infty)$ .

Answer 2

Obsérvese que el complemento de $[0, \infty)$ est $(-\infty, 0)$ que es abierto en la topología habitual en $\mathbb{R}$ . Por lo tanto $[0, \infty)$ está cerrado. A menudo me resulta más fácil mirar el complemento que pensar en puntos límite.

Answer 3

Supongo que se refiere a $[0,\infty)\subseteq\mathbb{R}$ en la topología natural? Entonces la respuesta es sí este subconjunto es cerrado.

Answer 4

Depende de la topología: así $[0,\infty)$ es cerrado para la topología estándar en $\mathbb{R}$ .