Evalúe $\lim_{n\to\infty}\dfrac{[1^2x]+[2^2x]+[3^2x]+...[n^2x]}{n^3}$ donde $[.]$ denota la función entera mayor $x\in R$
$\lim_{n\to\infty}\dfrac{[1^2x]+[2^2x]+[3^2x]+...[n^2x]}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sum_{r=1}^n[r^2x]}{n^3}$
Sin $[.]$ podría haber escrito $\sum r^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$ . No estoy seguro de cómo enfocarlo ahora.
Si intentamos convertirlo en integración, tenemos $\dfrac1n$ que podría escribirse como $dx$ necesitamos $\dfrac rn$ escribirse como varibale (tal vez $y$ aquí, ya que $x$ ya está dada), pero tenemos $r^2$ en $[.]$ No creo que podamos aceptar $n^2$ dentro.
¿Puede aplicarse aquí el teorema del estrujamiento? Pero no estoy seguro de cómo.