Evalúe $\lim_{n\to\infty}\dfrac{[1^2x]+[2^2x]+[3^2x]+...[n^2x]}{n^3}$ donde $[.]$ denota la función entera mayor $x\in R$

Question

Evalúe $\lim_{n\to\infty}\dfrac{[1^2x]+[2^2x]+[3^2x]+...[n^2x]}{n^3}$ donde $[.]$ denota la función entera mayor $x\in R$

$\lim_{n\to\infty}\dfrac{[1^2x]+[2^2x]+[3^2x]+...[n^2x]}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sum_{r=1}^n[r^2x]}{n^3}$

Sin $[.]$ podría haber escrito $\sum r^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$ . No estoy seguro de cómo enfocarlo ahora.

Si intentamos convertirlo en integración, tenemos $\dfrac1n$ que podría escribirse como $dx$ necesitamos $\dfrac rn$ escribirse como varibale (tal vez $y$ aquí, ya que $x$ ya está dada), pero tenemos $r^2$ en $[.]$ No creo que podamos aceptar $n^2$ dentro.

¿Puede aplicarse aquí el teorema del estrujamiento? Pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Sea $$S_n=[1^2x]+[2^2x]+[3^2x]+...[n^2x],$$ donde $[x]$ es GIF. Utilice $$k^2x-1<[k^2 x]\le k^2 x$$ entonces podemos sqeez $$x\sum_{k=1}^{n} k^2-nx < S_n \le x\sum_{k=1}^{n} k^2.$$ Obtenemos la ley de squeez como $$\implies \lim_{m\to\infty} x\frac{n(n+1)(2n+1)/6-n}{n^3} < \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3} \le \lim_{n \to \infty} x\frac{n(n+1)(2n+1)/6}{n^3}.$$ $$\implies \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3}=\frac{x}{3}$$