Determinación de si una función vectorial se encuentra en un cono

Question

Tengo la función vectorial $\vec{r}(t) = t \hat{i}+2t\cos(t) \hat{j} + 2t \sin(t) \hat{k}$ y el cono $4x^2=y^2+z^2$ .

Pensé que si demostraba que podía reescribir la ecuación del cono como la función vectorial, sería prueba suficiente de que la función vectorial se encuentra en el cono.

Así que dejé que $y = 2x\cos(t)$ et $z=2x\sin(t)$ y, por último, que $x=t$

Esto demuestra que el cono puede escribirse como $\vec{r}(t) = t \hat{i}+2t\cos(t) \hat{j} + 2t \sin(t) \hat{k}$

Sin embargo, la respuesta es:

¿He respondido correctamente a esta pregunta? No creo que la respuesta escribiera suficientes pasos.

Answer 1

En otras palabras, la función vectorial (la curva) puede escribirse como $(x,y,z) = (t, 2t\cos t, 2t\sin t)$ . Obsérvese la ecuación para $z$ -- Creo que se equivoca en la pregunta. Escribiendo las coordenadas por separado, esto se convierte en:

$$ x = t \quad ; \quad y = 2t\cos t \quad ; \quad z = 2t\sin t $$

Ahora sólo tienes que comprobar que el punto $(x,y,z)$ dada por estas ecuaciones se encuentra en el cono para todos los valores de $t$ . En otras palabras, hay que comprobar que $4x^2 = y^2 + z^2$ para todos los valores de $t$ . Eso es lo que hace la respuesta del libro.

Answer 2

Vale la pena señalar que el cono, en sí mismo, no puede escribirse de la forma $$\vec r(t)=t\hat i+2t\cos(t)\hat j+2t\sin(t)\hat k.$$

La cuestión es si esa curva se encuentra en el cono. En concreto, basta con demostrar que para $\langle x,y,z\rangle$ en esa curva eso es, $x=t,y=2t\cos(t),z=2t\sin(t)$ para algunos $t$ --tenemos $y^2+z^2=4x^2$ y en el libro se describen con precisión los pasos necesarios para demostrarlo.