¿Preservan necesariamente los mapas continuos los invariantes topológicos? ¿O es necesario que los mapas sean homeomorfismos? ¿Existen ejemplos sencillos en los que los mapas continuos no preserven estos invariantes?
Respuestas
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Obsérvese que existe un mapa continuo desde cualquier espacio topológico a un único punto, por lo que no se conservará en general ningún invariante que pueda distinguir los no puntos de los puntos. Un homeomorfismo preservará cada invariante (por la definición de invariante, como señala lhf).
Sin embargo, muchos invariantes topológicos (como el grupo fundamental y la homología) se conservan mediante equivalencias de homotopía, que no son homeomorfismos en general, por lo que existe un término medio.
lhf
Puntos
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A invariante topológica suele definirse como una propiedad que se conserva bajo homeomorfismos.
Hay propiedades topológicas, como la compacidad y la conectividad, que se conservan incluso bajo funciones continuas.
No todas las propiedades topológicas se conservan bajo funciones continuas. Por ejemplo, el número de componentes conectados (la homología más simple) es un invariante topológico que no se conserva en general bajo funciones continuas.
