Raíces de unidad: Sumas, productos y extensiones de campo

Question

(1) Tengo que demostrar lo siguiente: $\forall p \in \mathbb{P} \setminus \left\{ {2}\right\}, \sum_{k=1}^{p-1}(\zeta_{p}^{k})=-1$ donde $\mathbb{P}=\left\{ {p\in \mathbb{Z}:p>0, prime}\right\}$ .

Intuitivamente, tiene sentido. (Incluso entiendo la excepción de $p=2$ ). Básicamente, $\zeta_{p}^{p} = 1$ es el único término que falta ( $mod{p}$ en la potencia) y las partes imaginarias y reales del resto se cancelan cada una a $0$ excepto $-1$ (debido al término que falta). Puedo verlo pictóricamente. Pero mostrarlo algebraicamente es otra historia.

(2) También tengo que encontrar: $\prod_{k=1}^{p-1}(1-\zeta_{p}^{k})$ y $\prod_{k\in\mathbb{Z}^{+}\cap[1,p-2]:k\equiv1 (mod{2})}((\zeta_{p}^{k}-\zeta_{p}^{-k})^{2})$ .

No estoy seguro de cómo trabajar con esto. Puede proporcionar una respuesta con la justificación de cada uno?

Veo que el segundo se parece a $sin$ pero no estoy seguro de que sea útil.

(3) ¿Cómo demuestro que $\exists$ campo $\mathbb{F}: \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{F} \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{p}), [\mathbb{F}:\mathbb{Q}]=2$ ? ¿Cuál es el cuadrado libre $\alpha: \mathbb{F}=\mathbb{Q}(\sqrt{\alpha}), (\nexists q \in \mathbb{Q} \setminus \{1\}: q^2=\alpha)$ ?

Answer 1

Puedo darte un par de pistas.

Para $(1)$ Observa que tu suma de raíces de la unidad es una suma geométrica de la forma $$\sum_{k=1}^{p-1} z^k$$

Para $(2)$ ya que todos los $p$ -las raíces de la unidad tienen la forma $\zeta_p^k$ para $0 \leq k \leq p-1$ entonces el polinomio $z^{p} - 1$ factores como

$$ z^{p} - 1 = \prod_{k=0}^{p-1} (z - \zeta_p^k) $$ sino también $z^p -1 = (z -1)(z^{p-1} + z^{p-2} + \cdots + z + 1)$ . A partir de aquí debería ser capaz de evaluar el primer producto en $(2)$ .

Para $(3)$ una forma de producir explícitamente el "cuadrado libre $\alpha$ " es evaluar la suma cuadrática de Gauss

$$ \sum_{k=0}^{p-1} \zeta_p^{k^2} = \begin{cases} \sqrt{p} \quad \text{if $p \equiv 1 \pmod{4}$}\\ \sqrt{-p} \quad \text{if $p \equiv 3 \pmod{4}$} \end{cases} $$ Puede encontrar fácilmente en Internet cómo evaluar esta suma.

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Añadido en respuesta a los comentarios

En $(1)$ lo que tienes es una suma geométrica. La siguiente fórmula para tal suma es (o debería ser) bien conocida del cálculo elemental:

$$ 1 + z + z^2 + \cdots + z^{n} = \sum_{k=0}^n z^k = \frac{z^{n+1}-1}{z-1} $$ A partir de ahí, puedes obtener el resultado que tienes que demostrar en la parte $(1)$ .