Encuentra el valor entero mínimo posible de la suma

Question

Sea $f(x)$ una función continua, creciente y positiva en el intervalo $[0,a]$ tal que

$$\int_0^af(x)dx=20$$

Entonces encuentra el valor entero mínimo posible de la siguiente suma

$$a\left[f\left(\frac a{20}\right)+f\left(\frac {2a}{20}\right)+\cdots+f\left(\frac {20a}{20}\right)\right]$$

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Mis intentos

Sea $f(x)=x$ entonces $\frac {a^2}{2}=20\implies a^2=40$

$$a\left[f\left(\frac a{20}\right)+f\left(\frac {2a}{20}\right)+\cdots+f\left(\frac {20a}{20}\right)\right]=a\left(\frac{21a}{2}\right)=\frac{21}{2}a^2=420$$

Sé que mi método es completamente absurdo, pero no sé nada sobre el problema...

Answer 1

Sea la suma $R(a)$, y se relaciona con la suma de Riemann de $f$. Claramente, $R(a)$ es la suma R-derecha de la función $f$ y dado que $f$ es creciente y positiva, se sigue que $R(a) \ge 20\displaystyle \int_{0}^a f(x)dx = 20\cdot 20 = 400$ que es el valor mínimo.