Demostrando que $\binom{2n}{n} > n2^n , \forall n \ge 4 $

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación: $\binom{2n}{n} > n2^n , \forall n \ge 4 $

Este es mi intento de prueba inductiva:

Sea $P(n)$ sea la siguiente proposición: " $\binom{2n}{n} > n2^n , \forall n \ge 4 $ "

Caso base:

$\binom{2*4}{4} = 70 > 4*2^4 = 64$ así que $P(4)$ es cierto.

Paso inductivo:

(Asumo como hipótesis inductiva que P(n) es cierta e intento demostrar que P(n+1) es cierta)

$\binom{2(n+1)}{n+1} = \binom{2n+2}{n+1} = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n}$

$= \binom{2n}{n} + \binom{2n}{n+1} + \binom{2n}{n} + \binom{2n}{n-1}$

$= 2 \binom{2n}{n} + \binom{2n}{n+1} + \binom{2n}{n-1}$

$= 2 \binom{2n}{n} + \frac{(2n)!}{(n+1)!(2n-(n+1))!} + \frac{(2n)!}{(n-1)!(2n-(n-1))!}$

$= 2 \binom{2n}{n} +2 \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} $

Por la hipótesis inductiva tenemos:

$ 2 \binom{2n}{n} +2 \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} > 2n2^n +2 \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = (2^{n+1}) n + 2 \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} $

Y aquí estoy atascado. Si pudiera probar que $\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} \ge 2^n , \forall n \ge 4 $ el último paso demostraría que P(n+1) es cierta. Pero no he podido demostrarlo. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

$$\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} =\frac n{n+1}\cdot{2n\choose n}\ge \frac{n^2}{n+1}2^n$$

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Una prueba más directa para una mejor reivindicación: $2n\choose n$ es el mayor de $2n+1$ sumandos en la expansión de $(1+1)^{2n}$ Por lo tanto $$ {2n\choose n}\ge\frac1{2n+1}\cdot 4^n.$$

Answer 2

Se puede hacer sin inducción explícita.

$$\binom{2n}{n} = \frac{(2n)(2n-1)\dots(2n-(n-1))}{n(n-1)\dots2 \cdot 1} = \frac{2n}{n} \cdot \frac{2n-1}{n-1} \cdot \dots \cdot \frac{n+2}{2} \cdot \frac{n+1}{1}$$

Cada uno de esos $n$ fracciones es mayor o igual que $2$ de este modo, proporcionando a nuestros $2^n$ ; pero podemos hacerlo mejor observando que, de hecho, las dos fracciones finales llegan a $\frac{1}{2} (n+2)(n+1)$ que es mayor que $4n$ no sólo más grande que $4$ cuando $n > 4.56$ . Podríamos dejarlo ahí después de verificar el $n=4$ caso manualmente, o podemos hacerlo aún mejor contabilizando las tres fracciones finales, con lo que tenemos que $\frac{1}{6} (n+1)(n+2)(n+3) > 8n$ cuando $n > 3.66$ .

Por lo tanto, siempre que haya al menos tres fracciones finales (es decir $n \geq 3$ ), y siempre que $n > 3.66$ el resultado se mantiene, y de hecho se mantiene de forma masiva.