Una pregunta sobre los enunciados equivalentes de conjuntos contables en Cómo demostrarlo.

Question

En el libro de texto se dice que dado cualquier conjunto $A$ las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A es contable (el autor define un conjunto contable como finito o infinito).
2. O bien $ A $ está vacía o existe una función $ f:\mathbb{Z}^+ \to A$ que está sobre.

Me parece que la afirmación " $ A $ está vacío" es redundante. Si $A$ está vacío, ¿no es la condición "para cada elemento a en $A$ existe un $n \in \mathbb{Z}^+$ con $f(n) = a$ "(es decir $f$ ¿se satisface automáticamente onto)? Corrígeme si me equivoco. Gracias.

Answer 1

He aquí una perspectiva que responde a esta pregunta con un poco más de generalidad, pero antes, unas breves definiciones por si no está familiarizado con las relaciones:

Sea $X$ y $Y$ sean conjuntos.

Cualquier subconjunto $R$ del producto cartesiano $X\times Y$ se dice que es un $\textit{relation}$ de $X$ a $Y$ . Si $(x,y)\in R\subseteq X\times Y$ es un par ordenado en $R$ entonces decimos $x$ está relacionado con $y$ por $R$ y escribe $xRy$ .

Una relación $R$ de $X$ a $Y$ se llama $\textit{serial}$ o $\textit{left-total}$ siempre que para cada $x\in X$ existe un $y\in Y$ tal que $xRy$ .

Una relación $R$ de $X$ a $Y$ se llama $\textit{functional}$ o $\textit{right-unique}$ siempre que para todos $x\in X$ y para todos $y,z\in Y$ si $xRy$ y $xRz$ entonces $y=z$ .

Una relación $R$ de $X$ a $Y$ se denomina $\textit{function}$ si $R$ es a la vez izquierda-total y derecha-única.

Ahora que ya tenemos una terminología común, podemos responder a su pregunta.

Conjuntos dados $X$ y $Y$ y una relación $R$ de $X$ a $Y$ si $X$ no está vacío y $R$ es total-izquierda, entonces $Y$ tampoco es vacío. Esto se ve fácilmente, ya que dado cualquier $x\in X$ por la totalidad a la izquierda, existe un $y\in Y$ tal que $xRy$ Por lo tanto $Y$ no está vacío.

Con esto, debe quedar claro que no puede existir una función $f$ a partir de un conjunto no vacío $X$ al conjunto vacío. Si existiera tal función, entonces podríamos ver $f$ como una relación total-izquierda que garantizaría la existencia de un elemento en el conjunto vacío, una contradicción obvia.

Esto debería aclarar por qué necesitas las condiciones: "o bien $A$ está vacía o existe una suryección $f:\mathbb{Z}^{+}\to A$ "ya que no existe ninguna función $f:\mathbb{Z}^{+}\to A$ si $A$ está vacía.

Nótese, sin embargo, que existe una única función $f:\emptyset\to\emptyset$ la función vacía, ya que en este caso se satisfacen vacuamente la totalidad por la izquierda y la unicidad por la derecha.