No negatividad de los coeficientes de una forma modular definida en términos de las funciones thetanull de Jacobi

Question

Pregunta

Sea \begin{align*} \theta_2(q) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{(n+1/2)^2} \\ \theta_3(q) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n^2} \\ \theta_4(q) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n q^{n^2} \end{align*} sean las funciones de Jacobi thetanull. Definir $$ f(q) = \theta_3^{12} \theta_4^8 + \theta_3^8\theta_4^{12} + \theta_3^{12} \theta_2^8 + \theta_3^8\theta_2^{12}. $$ Esta función tiene el $q$ -ampliación de la serie $$ f(q) = 2 + 240 q^2 + 10240 q^3 + 134640 q^4 + 1007616 q^5 + 5215680 q^6 + 20828160 q^7 + 69131760 q^8 + \ldots. $$

Conjetura: Los coeficientes del $q$ -ampliación de la serie de $f(q)$ son todos no negativos.

¿Puede alguien ayudarme a demostrarlo?

Motivación

Maryna Viazovska dio un milagroso solución al problema de empaquetamiento de esferas en 8 dimensiones . Un componente de su demostración es una prueba de dos desigualdades que se satisfacen mediante formas modulares explícitas. Su demostración de esas desigualdades se basa en gran medida en los números y no es tan sencilla o conceptual como cabría desear. (Citando a Henry Cohn, que mencionó esta cuestión en su artículo Un avance conceptual en el empaquetado de esferas : "Desgraciadamente, no se conoce en la actualidad ninguna demostración sencilla de estas desigualdades, pero se pueden verificar reduciendo el problema a un cálculo finito"). Así pues, parece deseable encontrar una prueba más conceptual de estas desigualdades, o al menos una prueba que pueda ser leída y comprendida por un humano sin tener que recurrir a una gran cantidad de cálculos informáticos.

Ahora he encontrado lo que parece ser una prueba relativamente sencilla de las desigualdades de Viazovska que evita el trabajo numérico que requiere su prueba original, pero una parte de mi argumento asume la conjetura anterior. Si se demuestra la conjetura, tendremos una prueba incondicional.

Answer 1

No es una respuesta, sino un posible enfoque. Establecer $T=\theta_3$ y $F_2(q)=\sum_{m\ge0}\sigma(2m+1)q^{2m+1}$ de modo que $T^4$ y $F_2$ constituyen la base de $M_2(\Gamma_0(4))$ . Es fácil ver que $f\in M_{10}(\Gamma_0(4))$ y aunque esto tiene dimensión $6$ tenemos simplemente $f/2=T^{20}-40T^{16}F_2+640T^{12}F_2^2$ .

Ahora $T^4-8F_2$ es una conocida serie de Eisenstein de peso 2 con coeficientes positivos, por lo que lo mismo ocurre con $T^{20}-8T^{16}F_2$ . Los tres primeros coeficientes de la parte restante $32(20T^{12}F_2^2-T^{16}F_2)$ son negativos, pero todos los demás parecen ser positivos. Tal vez esto es más fácil de probar.

Alternativamente, se puede escribir $f$ como combinación lineal de $E_{10}$ , $E_{10}(2\tau)$ y $E_{10}(4\tau)$ más una forma cúspide; la parte Eisenstein debe tener coeficientes positivos y se demuestra trivialmente ya que los coeficientes son explícitos, y los coeficientes de la parte cúspide se pueden acotar por el límite de Ramanujan--Deligne y demostrar que son menores que la parte Eisenstein. No he escrito los detalles, pero debería ser posible.

Answer 2

Hmm, después de googlear un poco he encontrado que mi conjetura está de hecho demostrada en la tesis de honores de Harvard de 2018 " Magia modular "(La afortunada búsqueda en Google que dio como resultado esto fue "2607840 theta series", siendo 2607840 el coeficiente de $q^6$ en $f(q)/2$ -- pero sólo se me ocurrió intentarlo después de pasar una noche buscando en Google y leyendo literatura relacionada).

Curiosamente, Slipper demostró el hecho que yo necesito como parte de su exposición del trabajo de Viazovska sobre el empaquetamiento de esferas, y lo necesitaba por razones que parecen un poco relacionadas con mis propias razones para necesitarlo, pero no exactamente para demostrar las desigualdades de Viazovska de la forma sencilla que yo descubrí.

El argumento de Slipper, que se encuentra en la página 76 de su tesis (como componente de su demostración de la Proposición 4.4.6 de la página 75), es bastante elegante. En mi notación, encontró que la función $f$ puede representarse como $$ f(q) = \frac{2 \Theta(q) + \Theta(-q)}{3} $$ donde $\Theta(q)$ es la función theta asociada a un cierto entramado de 20 dimensiones, denominado DualExtremal(20,2)a celosía . Como los coeficientes de Fourier de la serie theta de una red son no negativos por definición, obtenemos inmediatamente la afirmación sobre la no negatividad de los coeficientes de $f(q)$ .

Ahora, esto ya es muy bonito, pero me pregunto si este argumento puede ser reelaborado para obtener una prueba directa de la no negatividad a partir de propiedades simples de las funciones thetanull de Jacobi. En particular, he resuelto que la función $\Theta(q)$ puede representarse como $$ \Theta = 2X^5 - 5 X^4 Y + 5 X^3 Y^2 + 5 X^2 Y^3 - 5 X Y^4 + 2Y^5, $$ donde $X=\theta_3^4$ , $Y=\theta_2^4$ . Así que tal vez desde aquí no es demasiado difícil demostrar que $\Theta$ tiene coeficientes de Fourier no negativos. Pensaré más en esto mañana. Edita: Sí, tenía razón véase más abajo.

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Edita: He aquí una prueba autocontenida de mi conjetura de no negatividad, inspirada en el argumento de la tesis de Slipper pero reelaborada para dar una prueba más directa que no se basa en hechos sobre retículos y sus series theta:

1. Denote $X=\theta_3^4$ , $Y=\theta_2^4$ como arriba.

2. Debido a la conocida identidad $\theta_3^4=\theta_2^4+\theta_4^4$ , $f(q)$ puede escribirse como \begin{align*} f &= X^3 Y^2 + X^2 Y^3 + X^3 (X-Y)^2 + X^2 (X-Y)^3 \\ &= 2 X^5 - 5 X^4 Y + 5 X^3 Y^2 \end{align*}

3. Definir una función $\Theta(q)$ por $$ \Theta(q) = 2X^5 - 5 X^4 Y + 5 X^3 Y^2 + 5 X^2 Y^3 - 5 X Y^4 + 2Y^5. $$

4. Obsérvese que, puesto que $X(-q)=X-Y$ y $Y(-q)=-Y$ tenemos \begin{align*} \Theta(-q) &= 2 (X-Y)^5 - 5 (X-Y)^4 (-Y) + 5 (X-Y)^3 (-Y)^2 \\ & \qquad + 5 (X-Y)^2 (-Y)^3 - 5 (X-Y) (-Y)^4 + 2 (-Y)^5 \\ &= 2 X^5 - 5 X^4 Y + 5 X^3 Y^2 - 10 X^2 Y^3 + 10 X Y^4 - 4 Y^5. \end{align*}

5. De las dos últimas ecuaciones se deduce que $$ f(q) = \frac{2\Theta(q) + \Theta(-q)}{3}. $$

6. Tenga en cuenta que una forma alternativa de expresar $\Theta$ es como $$ \Theta = \frac{(2X-Y)^5 + 30 (2X-Y)^2 Y^3 + 15 (2X-Y) Y^4 + 18 (2X-Y)^5}{16} $$

7. Tenga en cuenta que tanto $Y$ y $2X-Y$ tienen coeficientes de Fourier no negativos. Para $Y$ esto es inmediato a partir de la definición, y para $2X-Y$ esto se deduce de la identidad $$ \frac{2X-Y}{2} = 1 + 24 \sum_{n=1}^\infty \sigma_{\textrm{odd}}(n) q^{2n}, \qquad (*) $$ donde $\sigma_{\textrm{odd}}(n)$ es el Función divisor impar definido por $$ \sigma_{\textrm{odd}}(n) = \sum_{d\,|\,n,\ \ d\textrm{ odd}} d. $$

8. Expresamos $\Theta$ como combinación lineal con coeficientes positivos de monomios en $Y$ y $2X-Y$ que tienen coeficientes de Fourier no negativos. Por lo tanto $\Theta$ tiene coeficientes de Fourier no negativos.

9. Por la forma en que expresamos $f$ en términos de $\Theta$ está claro que $f$ también deben tener coeficientes de Fourier no negativos. QED.

Observaciones:

• La identidad $(*)$ es estándar, véase por ejemplo esta página de la OEIS . (No lo he comprobado, pero creo que se puede demostrar utilizando las identidades en este post de MathOverflow expresando $\theta_2^4$ y $\theta_3^4$ en términos de series de Eisenstein).

• La forma modular $2X-Y$ es el doble de la serie de Eisenstein de peso 2 mencionada en la respuesta de Henri Cohen, donde se escribía como $T^4-8F_2$ . (Gracias Henri por la sugerencia de buscar una representación de $f$ con esta función).

• La función que denota $\Theta$ es la misma que la función $\Theta$ de la página 76 de la tesis de Slipper. Pero lo definí en términos de los thetanulls de Jacobi $\theta_2$ , $\theta_3$ y definió su $\Theta$ como la serie theta de un cierto entramado (bastante esotérico por lo que veo) de 20 dimensiones. Demostrar que las dos funciones coinciden requeriría trabajo adicional, pero no es necesario para que mi versión de la prueba de no negatividad funcione.

• La prueba anterior no explica cómo encontré la representación de $\Theta$ como combinación lineal con coeficientes positivos de monomios en $2X-Y$ y $Y$ . Para ello, resolví un programa lineal en 21 variables (utilizando el programa de Mathematica Minimize ), pero quizá haya una forma más fácil.