¿Área de la intersección de la región exterior a una circunferencia unitaria centrada en el origen y la región interior a la circunferencia unitaria centrada en (1,0)?

Question

Este problema estaba en mi examen final de cálculo, y no tenía ni idea de cómo plantear la integral doble para resolverlo.

Answer 1

$r=2\cos \theta$ es el círculo centrado en $(1,0)$ con radio $1$ . (¿Por qué?)

$r=1$ es el círculo unitario.

Vamos a encontrar los ángulos de las intersecciones:

$\displaystyle 2 \cos \theta = 1 \implies \cos \theta = \frac 12 \implies \theta = \pm \frac \pi 3$

Queremos el área fuera del círculo unitario $\implies r >1$

Y el área dentro del otro círculo $\implies r<2 \cos \theta$

$$A= \int_{- \frac \pi 3}^{\frac \pi 3} \int_1^{2\cos \theta}\underbrace{r}_{\text{Jacobian}} \ dr \ d \theta$$

Answer 2

Solución sin integral: el área de intersección de las dos circunferencias está formada por dos partes iguales simétricas, cada una de las cuales corresponde al área de un segmento circular cuyo ángulo es $\frac {2 \pi}{3}$ . El área de cada uno de estos dos segmentos circulares es $\frac {\pi}{3}-\frac {\sqrt {3}}{4} $ . Por lo tanto, el área de la intersección de la región fuera del primer círculo y la región dentro del segundo círculo es

$$\pi- \left(\frac {2\pi}{3}-\frac {\sqrt {3}}{2} \right)= \frac {\pi}{3}+\frac {\sqrt {3}}{2}$$

Answer 3

Usando la vieja geometría de cortar y pegar:

Los lados verticales rectos son $2\frac{\sqrt3}2$ de altura y tienen una distancia mutua de $1$ .

Superficie total $\displaystyle \color{#380}{\frac{\pi}3} + \color{#003ce4}{\frac{\sqrt3}{2}}$ .