Parametrización de la distribución gamma

Question

He encontrado diferentes parametrizaciones de la distribución gamma, pero no con respecto a la forma-escala o a la forma-velocidad. Se trata más bien del signo del exponente.
Wolfram indica que el pdf es proporcional a $$x^{a-1} \exp{-\frac{x}{b}}$$ https://reference.wolfram.com/language/ref/GammaDistribution.html

Sin embargo, he visto algunos documentos en los que falta el signo menos de tal manera que, $$x^{a-1}\exp{\frac{x}{b}}$$ A mi entender, ambos parámetros $a$ y $b$ tienen que ser positivos, así que esto debe suponer algún tipo de diferencia. ¿Tengo algún error de razonamiento aquí?

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Answer 1

Se trata claramente de una errata en el periódico. Puedes comprobarlo viendo que la forma del pdf que presentan, no se integra a algo finito.

$$x^{\alpha - 1} e^{x/\beta} \to 0 \text{ as } x \to 0$$

$$x^{\alpha - 1} e^{x/\beta} \to \infty \text{ as } x \to \infty.$$

Por lo tanto, el pdf se integra hasta el infinito. Usted puede ver que en wolfram alfa aquí .

Por lo tanto, la integral diverge, y la pdf presentada no es una pdf válida.