Demostrar que si elegimos en un espacio vectorial un conjunto de generadores y un conjunto de vectores linealmente independientes que el número de generadores es mayor o igual que el número de vectores linealmente independientes.
Mi pregunta es si la prueba que se me ocurrió para esto es (a) correcta, (b) demasiado enrevesada:
Prueba :
Tomemos un espacio vectorial $V$ .
Sea $B = \left\{e_1,e_2,...,e_n\right\} \subset V$ donde los elementos de $B$ son generadores de $V$ y $G = \left\{v_1,v_2,...,v_k\right\} \subset V$ donde los elementos de $G$ son vectores linealmente independientes.
Por la definición de sistemas de generadores, cualquier vector de un espacio vectorial puede expresarse como una combinación lineal de generadores. Por tanto, cualquier elemento de $G$ puede expresarse como una combinación lineal de elementos en $B$ .
Dado que los elementos de $G$ son linealmente independientes entre sí, se deduce que cada $v_i \in G$ viene dada por una combinación lineal de un subconjunto único de elementos de $B$ que no es un único elemento de $B$ se utiliza en más de una combinación lineal de elementos dando un vector en $G$ .
Supongamos que $\#B < \#G$ . Esto contradice lo anterior, ya que habrá al menos un elemento en $B$ que se utiliza en más de una combinación lineal que da un elemento de $G$ contradiciendo la unicidad de estas combinaciones.
$\therefore \#B \geq \#G$ por contradicción. $\square$
