El problema que estoy viendo es, dada una matriz AA de tamaño m×nm×n donde Aij≥0Aij≥0 minimizar f(x,y)=||A−xy||2Ff(x,y)=||A−xy||2F donde xx es un vector columna de longitud mm , yy es un vector fila de longitud nn y ||x||2=||y||2||x||2=||y||2 . Mis intentos me llevaron a hacer los siguientes cálculos:
∂f∂x=−2(A−xy)yT=−2AyT+2x||y||2,∂f∂y=−2xT(A−xy)=−2xTA+2y||x||2⇒∂f∂x=−2(A−xy)yT=−2AyT+2x||y||2,∂f∂y=−2xT(A−xy)=−2xTA+2y||x||2⇒ ∂2f∂x2=2||y||2,∂2f∂y2=2||x||2,∂2f∂x∂y=−2A+2xy||y||2,∂2f∂y∂x=−2A+2x||x||2y∂2f∂x2=2||y||2,∂2f∂y2=2||x||2,∂2f∂x∂y=−2A+2xy||y||2,∂2f∂y∂x=−2A+2x||x||2y
Lo que parece indicar que el hessiano de esta función f(x,y)f(x,y) es H(f(x,y))=−2[||y||2A−xy||y||2A−x||x||2y||x||2]
Tengo problemas para conceptualizar este objeto, lo que me hace pensar que cometí un error en alguna parte de mis cálculos (probablemente en ∂2f∂x∂y si tuviera que adivinar). Básicamente, mi pregunta es si he cometido un error y, en caso afirmativo, dónde. Y condicionalmente, si no cometí ningún error (o si la estructura general del hessiano es correcta independientemente de los errores) ¿qué tipo de objeto matemático es este hessiano? ¿Un tensor de 3er orden (o superior) (la razón por la que esto no tiene sentido para mí es porque los términos diagonales son escalares, por lo que su dimensionalidad no coincide con los términos no diagonales)?
EDITAR:
He vuelto a repasar los cálculos y lo que me salta a la vista como posible error por mi parte es pasar de ∂f∂x→∂2f∂x∂y en concreto, tomando la derivada del término 2x||y||2 (y el paso análogo para calcular ∂2f∂y∂x ). Según todas las referencias que he podido encontrar, dfdx||x||2=xT||x||2 pero si se sigue esta regla se produce un desajuste de dimensiones porque el producto xyT||y||2 es indefinido cuando x y y son ambos vectores columna. ¿Me estoy perdiendo algo (estoy seguro de que sí, así que tal vez debería preguntar)? qué que me estoy perdiendo)?
