Borel $\sigma$ -sobre caminos de variación limitada

Question

Sea $(C, \|\cdot\|)$ sea el espacio de Banach de trayectorias continuas $x: [0,1]\rightarrow\mathbb{R}^d$ a partir de cero con sup-norma $\|\cdot\|$ .

Más $B\subset C$ sea el subespacio de $0$ -trayectorias continuas de variación acotada, es decir.

$$B = \big\{x\in C \ \big| \ \|x\|_1:=\sup\nolimits_{(t_\nu)}{\textstyle\sum_\nu}|x_{t_\nu} - x_{t_{\nu-1}}|<\infty \ \text{ and } \ x(0)=0\big\}$$

donde el sup anterior recorre todas las particiones $(t_\nu)$ de $[0,1]$ .

El conjunto $B$ se puede dotar tanto de la norma (uniforme) $\|\cdot\|$ y la norma (de 1 variación) $\|\cdot\|_1$ .

¿Sabe usted si el Borel $\sigma$ -en $(B, \|\cdot\|)$ y $(B, \|\cdot\|_1)$ ¿coinciden?

Cualquier referencia o sugerencia será bienvenida.

Edita: Como señaló Gerald Edgar, redujimos $B$ a trayectorias iniciadas en cero para que la pregunta tenga más sentido.

Edita 2: Como señala Gerald Edgar en los comentarios a su respuesta más abajo, la respuesta a esta pregunta es no, el Borel $\sigma$ -no pueden coincidir porque hay más $\|\cdot\|_1$ -conjuntos abiertos en $B$ de los que hay $\|\cdot\|$ -Conjuntos de Borel en $C$ .

Answer 1

Creo que hay un problema con una mera semi-norma. Las funciones constantes tienen distancia de variación $0$ entre sí. Cualquier conjunto abierto a variaciones contiene todas las constantes o ninguna. Por lo tanto, cualquier variación-Borel conjunto contiene ya sea todas las constantes, o ninguno de ellos.

Elija $\mathbf u \in \mathbb R^n \setminus \{0\}$ . Tomemos el subconjunto $\{0,\mathbf{u}\} \subseteq B$ de dos funciones constantes. Es sup-norma cerrada, por lo que es un conjunto uniforme de Borel. Pero no es un conjunto de variación de Borel.

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Tal vez una pregunta mejor sería restringir al subconjunto de $B$ con $x(0) = 0$ . Entonces al menos tenemos una norma.

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rmcerafl señaló un problema con lo siguiente. Por ahora, lo dejaré aquí como referencia.

Sea $C_0 = \{x \in C : x(0)=0\}$ con la norma uniforme. Sea $B_0 = \{x \in B : x(0)=0\}$ con la norma de variación. Ambos son espacios métricos completos separables. El mapa de inclusión $i : B_0 \to C_0$ es continua e inyectiva. Entonces citando un resultado o dos de la teoría descriptiva de conjuntos*, obtenemos: $i(B_0)$ es un subconjunto de Borel de $C_0$ y $i : B_0 \to i(B_0)$ es un mapa Borel-isomorfo. Esto demuestra, en particular, que los subconjuntos de variación-Borel de $B_0$ coinciden con los subconjuntos de Borel uniforme de $i(B_0)$ .

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${}^*$ Proposición 8.3.5 y Teorema 8.3.7 en:

Cohn, Donald L. Teoría de la medida, Boston, Basilea, Stuttgart: Birkhäuser. IX, 373 p. DM 42,00 (1980). ZBL0436.28001 .