Estaba leyendo esta pregunta texto del enlace y no puedo ver por qué, si $\pi: P \to B$ es un principio $G$ -y $$\rho:G \to GL_n(\mathbb{C})$$ es una representación de $G$ entonces el espacio total $P \times_{\rho} \mathbb{C}^n$ es localmente trivial.
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Herms
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Se puede trivializar ese haz sobre los mismos conjuntos abiertos en los que $\pi$ es trivial con esencialmente la misma trivialización---hasta componer con $\rho$ .
Más tarde: La forma más fácil de ver esto es, creo que la siguiente. Si su principal inicial $G$ -es trivial, entonces es más o menos evidente que $P\times_\rho\mathbb C^n$ también es trivial. Ahora bien, si $\pi$ no es trivial, pero su restricción $\pi|\_U:\pi^{-1}(U)\to U$ es trivial sobre un subconjunto abierto $U\subseteq B$ entonces, por la observación anterior y desentrañando un poco la notación, tenemos que $P\times_\rho\mathbb C^n$ es trivial sobre $U$ .
Un G-bundle principal $\pi: P \to B$ es localmente equivalente a un producto. Dependiendo de a quién preguntes, esto forma parte de la definición o es un pequeño lema. Significa que existe una cubierta de B por conjuntos abiertos U, junto con isomorfismos de haz $\alpha_U: \pi^{-1}U \to G \times U$ que son ambas equivariantes de G e inducen secciones de transición en G: véase Wikipedia .
La construcción del haz asociado es un cociente de $P \times \mathbb{C}^n$ por una relación de equivalencia dada por las acciones de G sobre los factores izquierdo y derecho. Dado que $\alpha_U$ es G-equivariante, el mapa $\alpha_u \times id: \pi^{-1}U \times \mathbb{C}^n \to G \times U \times \mathbb{C}^n$ es también un mapa de haces G-equivariante, por lo que se obtienen isomorfismos de haces en los haces cocientes: $\alpha_u \times_\rho id: \pi^{-1}U \times_\rho \mathbb{C}^n \to U \times \mathbb{C}^n$ .
jumar
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@Scott: Voy a añadir esto como respuesta porque es un poco largo para un comentario: Perdona, pero soy un poco lento y quiero estar seguro de que entiendo exactamente lo que dices: Si $(p,v) \in P \times_{\rho} \mathbb{C}^n$ entonces $$(\alpha_u \times id)(p,v) = (\pi(p),g_p,v) \in U \times G \times \mathbb{C}^n,$$ para algunos $g_p \in G$ en función de la elección de $\alpha_U$ . Esto no está en $U \times \mathbb{C}^n$ como querríamos, es más, ni siquiera está bien definido. Así que por $\alpha_U \times_{\rho} id$ ¿se refiere a la composición $$ (id \times m) \circ (id \times \rho \times id)\circ (\alpha_U \times id), $$ que mapea $$ (p,v) \mapsto (\pi(p), \rho(g_p)v)? $$
mreggen
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Nunca lo he calculado detenidamente, pero en mi enfoque habitual de "prefiero los paquetes vectoriales", yo haría lo siguiente: Primero, asumir que la representación de $G$ es fiel. Entonces se puede ver cualquier trivialización local del haz principal como dando todas las posibles $G$ -de una trivialización de un haz vectorial (es decir, las columnas de cada matriz que representan un elemento en $G$ forman una base de la fibra del haz vectorial). Usando esta perspectiva, se puede inferir de los mapas de encolado para el haz principal cómo encolar las trivializaciones del haz vectorial.
