En Bigelow Los grupos trenzados son lineales demuestra que el grupo trenzado $B_n$ actúa fielmente en $H_2(\tilde{C})$ para algún espacio $\tilde{C}$ . Las principales herramientas utilizadas son los objetos que Bigelow denomina horquillas y fideos . La configuración abreviada es la siguiente:
En primer lugar, tenemos un $4$ -manifold $\tilde{C}$ sobre el que se actúa $\mathbb{Z}^2 = \langle q,t\rangle$ . Se nos dan dos $2$ -de las variedades tridimensionales $\tilde{\Sigma}(N)$ y $\tilde{\Sigma}(F)$ que son correctamente integrado en $\tilde{C}$ . Sea $\hat{i}(-, -)$ denotan la intersección algebraica en $\tilde{C}$ . Bigelow define entonces un elemento $\langle N, F\rangle$ de $\mathbb{Z}[q^{\pm},t^{\pm}]$ por
$$\langle N,F\rangle := \sum_{a,b\in\mathbb{Z}} \hat{i}(\underbrace{q^at^b\cdot \tilde{\Sigma}(N)}_{\mathbb{Z}^2 \text{ action}}~,~\tilde{\Sigma}(F))~q^at^b.$$
Tengo dos preguntas al respecto.
En primer lugar, Bigelow afirma
"El problema es que no se puede definir necesariamente un número algebraico de intersección entre dos superficies correctamente embebidas, ya que podría ser posible eliminar las intersecciones alejándolas del infinito. Superamos este problema demostrando la existencia de una superficie cerrada inmersa $\tilde{\Sigma}_2(F)$ que es igual a $(1-q)^2(1+qt)\tilde{\Sigma}(F)$ fuera de un pequeño barrio..."
¿Qué entiende Bigelow por número de intersección algebraica? Si es el producto taza de $\tilde{\Sigma}(N)$ y $\tilde{\Sigma}(F)$ como elementos de $H^2(\tilde{C})$ no veo el problema que parece preocupar a Bigelow. Si no lo es, entonces ¿qué es, y por qué existe este problema de incrustación?
En segundo lugar, ¿por qué $\langle N,F\rangle$ ¿Bien definido? Supongo que $\hat{i}(q^at^b\cdot\tilde{\Sigma}(N), \tilde{\Sigma}(F))$ es distinto de cero sólo finitamente a menudo de modo que no tenemos una suma infinita, pero no veo por qué esto debería ser cierto.