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Intersección algebraica de tenedores y fideos: La prueba de Bigelow de la linealidad de los grupos trenzados

En Bigelow Los grupos trenzados son lineales demuestra que el grupo trenzado $B_n$ actúa fielmente en $H_2(\tilde{C})$ para algún espacio $\tilde{C}$ . Las principales herramientas utilizadas son los objetos que Bigelow denomina horquillas y fideos . La configuración abreviada es la siguiente:

En primer lugar, tenemos un $4$ -manifold $\tilde{C}$ sobre el que se actúa $\mathbb{Z}^2 = \langle q,t\rangle$ . Se nos dan dos $2$ -de las variedades tridimensionales $\tilde{\Sigma}(N)$ y $\tilde{\Sigma}(F)$ que son correctamente integrado en $\tilde{C}$ . Sea $\hat{i}(-, -)$ denotan la intersección algebraica en $\tilde{C}$ . Bigelow define entonces un elemento $\langle N, F\rangle$ de $\mathbb{Z}[q^{\pm},t^{\pm}]$ por

$$\langle N,F\rangle := \sum_{a,b\in\mathbb{Z}} \hat{i}(\underbrace{q^at^b\cdot \tilde{\Sigma}(N)}_{\mathbb{Z}^2 \text{ action}}~,~\tilde{\Sigma}(F))~q^at^b.$$

Tengo dos preguntas al respecto.


En primer lugar, Bigelow afirma

"El problema es que no se puede definir necesariamente un número algebraico de intersección entre dos superficies correctamente embebidas, ya que podría ser posible eliminar las intersecciones alejándolas del infinito. Superamos este problema demostrando la existencia de una superficie cerrada inmersa $\tilde{\Sigma}_2(F)$ que es igual a $(1-q)^2(1+qt)\tilde{\Sigma}(F)$ fuera de un pequeño barrio..."

¿Qué entiende Bigelow por número de intersección algebraica? Si es el producto taza de $\tilde{\Sigma}(N)$ y $\tilde{\Sigma}(F)$ como elementos de $H^2(\tilde{C})$ no veo el problema que parece preocupar a Bigelow. Si no lo es, entonces ¿qué es, y por qué existe este problema de incrustación?


En segundo lugar, ¿por qué $\langle N,F\rangle$ ¿Bien definido? Supongo que $\hat{i}(q^at^b\cdot\tilde{\Sigma}(N), \tilde{\Sigma}(F))$ es distinto de cero sólo finitamente a menudo de modo que no tenemos una suma infinita, pero no veo por qué esto debería ser cierto.

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Russo Puntos 192

Después de entender más de este documento, ahora estoy en condiciones de responder a esto.

En primer lugar, el número de intersección algebraica es el producto taza. El problema es que no sabemos a priori que estas subsuperficies no compactas pueden verse como clases homológicas en $H_2$ (y por tanto clases de cohomología en $H^2$ ). Bigelow realiza algunos cálculos para demostrar que existe una forma bien definida de hacerlo.

En segundo lugar, la suma es finita porque el número algebraico de intersección también puede verse como la suma con signo de los puntos de intersección entre estas superficies elevadas (donde la orientación está inducida por la orientación en el disco). Además, estos puntos corresponden a los puntos de intersección entre el fideo $N$ y el tenedor $F$ . Estos objetos sólo pueden intersecarse finitamente y, por tanto, la suma sólo tiene un número finito de términos.

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